Zadanie nr 2957973
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania .
Rozwiązanie
Oczywiście musi być (ze względu na
).
Sposób I
Liczymy
![tgx sinx sin x 0 = ----- − 2 sin x = cosx-− 2sin x = ---2-- − 2 sin x co sx( )cosx cos2 x --1--- 1-−-2-cos-x- = sinx cos2 x − 2 = sinx ⋅ cos2 x .](https://img.zadania.info/zad/2957973/HzadR2x.gif)
Zatem , czyli
, gdzie
lub
![1 − 2 cos2x = 0 cos2x = 1- 2√ -- 2 cosx = ± ---. 2](https://img.zadania.info/zad/2957973/HzadR6x.gif)
Rozwiązaniem tego ostatniego równania są liczby postaci , gdzie
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/2957973/HzadR9x.gif)
Sposób II
Tym razem równanie przekształcamy tak, aby zostały same sinusy.
![sinx- 0 = tg-x-− 2sinx = -cosx- − 2 sin x = sin-x-− 2 sinx = cosx cos x cos2x sin x sinx − 2 sinx + 2 sin 3x = ----------− 2 sinx = ------------------------= 1− sin 2x 1 − sin 2x sinx (2 sin2x − 1 ) = -----------2------. 1 − sin x](https://img.zadania.info/zad/2957973/HzadR10x.gif)
Zatem lub
. Pierwsza równość daje
, a druga
.
Odpowiedź: lub
, gdzie