Rozwiąż równanie 3tg ^2x+frac{1}{sin x}+1=0.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z tangensem, 3161770

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Z tangensem

Zadanie nr 3161770

Rozwiąż równanie $2 -1-- 3tg x+ sinx + 1 = 0$ .

Rozwiązanie

Przekształćmy podane równanie.

1 3tg2 x + -----+ 1 = 0 sinx 3-sin-2x- -1--- cos2x + sin x + 1 = 0 3 2 2 3-sin--x-+-cos--x+--sin-x-cos-x-= 0 sin xco s2x 2 sin 3x + sinx (sin 2x + cos2 x)+ cos2x -----------------------2----------------= 0 3 sin xco s x2 2-sin--x-+-sinx-+-1-−-sin--x = 0 . sin xcos2 x

Podstawmy $t = sin x$ i mamy równanie

2t3 + t+ 1 − t2 = 0.

Szukamy wymiernych pierwiastków tego wielomianu wśród liczb postaci $1 q$ , gdzie $q$ dzieli 2. Okazuje się, że pierwiastkiem jest $t = − 1 2$ . Dzielimy teraz wielomian przez dwumian $2x+ 1$ . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 2t + t+ 1 − t = (2t + t )− (2t + t)+ 2t+ 1 = (2t+ 1)(t2 − t + 1).

Wielomian kwadratowy w nawiasie nie ma pierwiastków, więc dostajemy $1 sin x = − 2$ . Stąd $π- x = − 6 + 2kπ$ lub $5π- x = − 6 + 2kπ$ . Koniecznie trzeba jeszcze sprawdzić, czy te rozwiązania należą do dziedziny równania, ale w mianownikach mieliśmy $sin x$ i $co sx$ , więc dla $1 sin x = − 2$ wszystko jest ok.
Odpowiedź: $x = − π6-+ 2kπ$ lub $x = − 5π6-+ 2kπ$ , $k ∈ C$