/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Z tangensem

Zadanie nr 4717619

Rozwiąż równanie √ -- 3sin xtg x = 2 3 sin x + 3 cosx w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na tangens musi być cosx ⁄= 0 .

Sposób I

Przekształcamy dane równanie – łatwo zauważyć, że jak podzielimy równanie przez cosx , to otrzymamy równanie z samymi tangensami.

√ -- 3sin xtg x = 2 3 sin x + 3 cosx / : co sx sinx- √ -- -sin-x 3⋅ cosx ⋅tg x = 2 3 ⋅co sx + 3 2 √ -- 3tg x = 2 3 tgx + 3.

Podstawiamy teraz tg x = t .

2 √ -- 3t − 2 √ 3t− 3 = 0 √ -- Δ = (2 3)2 + 3 6 = (4 3)2 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- 2--3-−-4--3- --3- 2--3+--4--3- √ -- t = 6 = − 3 ∨ t = 6 = 3.

Mamy zatem

√ -- 3 √ -- tgx = − -3-- ∨ tg x = 3.

Szkicujemy tangensa.

PIC

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie.

{ } { π π π π } 5π 11π π 4π x ∈ π − 6-,2π − 6-,3-,π + -3 = -6-,--6-, 3, 3-- .

Sposób II

Pozbywamy się tangensa podstawiając sinx tg x = cosx .

sin x √ -- 3 sinx ⋅----- = 2 3sin x+ 3co sx /⋅ cosx 2 co sx√ -- 2 3 sin x = 2 3sin xco sx + 3 cos x 2 2 √ -- 3 (sin x − cos√ x) = 3 sin 2x − 3 cos2x = 3 sin 2x.

Zauważmy teraz, że jeżeli cos 2x = 0 to sin2x = ± 1 i powyższe równanie jest sprzeczne. Zatem cos2x ⁄= 0 i możemy podzielić powyższe równanie przez cos2x .

√ -- tg2x = − √3--= − 3 . 3

Teraz trzeba odrobinę uważać, bo w prawdzie x ∈ ⟨0,2 π⟩ , ale 2x ∈ ⟨0,4π ⟩ . Mamy zatem

{ } 2x ∈ π − π-,2π − π-,3π − π-,4π − π- { 3 3 } 3 3 2π 5π 8π 1 1π 2x ∈ -3-,-3-,-3-,--3- / : 2 { } π- 5π- 4π- 11-π x ∈ 3 , 6 , 3 , 6 .

 
Odpowiedź: { } 5π- 11π π- 4π- 6 , 6 ,3 ,3

Wersja PDF