/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Z tangensem

Zadanie nr 4939128

Rozwiąż równanie

√ -- 3 √ -- 6co sx + 2 3 sin x + ---- + 3 = 0 . tg x
Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na tangens musi oczywiście być co sx ⁄= 0 . Ponadto tangens jest w mianowniku, więc dodatkowo też musi być sinx ⁄= 0 . Przekształcamy równanie.

√ -- √ -- 6 cosx + 2 3 sinx + 3 ⋅ co-sx + 3 = 0 / ⋅sinx √ -- sin x √ -- 6 cosx sin x + 2 3 sin2x + 3 cosx + 3 sinx = 0 √ -- √ -- 2 sin x(3 cosx + 3 sinx) + (3 cosx + 3 sinx ) = 0 √ -- (2 sin x + 1)(3 cosx + 3 sin x) = 0.

Wyrażenie w pierwszym nawiasie zeruje się gdy 1 sin x = − 2 , czyli dla

π ( π ) x = − --+ 2k π lub x = π + -- + 2kπ 6 6 x = − π-+ 2k π lub x = 7π-+ 2kπ . 6 6

Zajmijmy się teraz wyrażeniem w drugim nawiasie

√ -- √ -- 3 sin x = − 3 cosx / : 3 cos x 3 √ -- tg x = − √--- = − 3 3 x = − π-+ kπ . 3

 
Odpowiedź: x = − π-+ 2kπ 6 lub x = 7π-+ 2kπ 6 lub π- x = − 3 + kπ , k ∈ Z

Wersja PDF