Zadanie nr 8614501

Rozwiąż równanie tg 3x− tg x − 4 sin x = 0 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Rozwiązanie

Ze względu na tg x musi być π- x ⁄= 2 (w interesującym nas przedziale), a ze względu na tg3x dodatkowo

{ } 3x ⁄∈ π-, 3π-, 5π / : 3 2 2 2 { π π 5π } x ⁄∈ --,--,--- . 6 2 6

Przy tych założeniach przekształcamy dane równanie.

sin3x sin x 0 = tg 3x − tgx − 4 sinx = -------− ----- − 4 sin x = cos 3x co sx = sin-3x-cosx-−-sin-xco-s3x-− 4 sinx . co sx cos3x

W liczniku otrzymanego ułamka widać wzór na sinus różnicy

sin (α− β) = sinα cos β− sin β cos α.

Mamy zatem

0 = sin-3x-cos-x−--sin-x-cos3x-− 4sinx = cosx cos3x sin (3x − x) sin 2x = ------------− 4 sin x = ------------− 4 sin x. cosx cos 3x cosx cos 3x

Teraz z kolei korzystamy ze wzoru

sin 2α = 2sin αco sα

Mamy zatem

--sin-2x---- 2sinx-cos-x- 0 = cosx cos 3x − 4sin x = cosx cos3x − 4sin x / : 2 sin x ( 1 ) 1− 2 cos 3x 0 = ------− 2sin x = sinx -------− 2 = sinx ⋅ -----------. cos3x cos 3x co s3x

Teraz sprawa jest już bardzo prosta – albo sinx = 0 , czyli

x ∈ {0,π }

albo 1 cos 3x = 2 , czyli

{ π- π- π-} 3x ∈ 3 ,2π − 3 ,2π + 3 { π 5 π 7π } 3x ∈ --,---, --- / : 3 { 3 3 3} π 5π 7 π x ∈ --,---,--- . 9 9 9

W sumie mamy więc 5 rozwiązań

{ } x ∈ 0 , π-, 5π-, 7π-,π 9 9 9

Odpowiedź: x ∈ { 0, π-, 5π, 7π-,π} 9 9 9