Zadanie nr 8614501

Rozwiąż równanie tg 3x− tg x − 4 sin x = 0 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Rozwiązanie

Ze względu na tg x musi być π- x ⁄= 2 (w interesującym nas przedziale), a ze względu na tg3x dodatkowo

{ } 3x ⁄∈ π-, 3π-, 5π / : 3 2 2 2 { } x ⁄∈ π-, π-, 5π . 6 2 6

Przy tych założeniach przekształcamy dane równanie.

0 = tg 3x − tgx − 4 sinx = sin3x--− sin-x − 4 sin x = cos 3x co sx sin 3x cosx − sin xco s3x = -------------------------− 4 sinx . co sx cos3x

W liczniku otrzymanego ułamka widać wzór na sinus różnicy

sin (α− β) = sinα cos β− sin β cos α.

Mamy zatem

sin-3x-cos-x−--sin-x-cos3x- 0 = cosx cos3x − 4sinx = sin (3x − x) sin 2x = ------------− 4 sin x = ------------− 4 sin x. cosx cos 3x cosx cos 3x

Teraz z kolei korzystamy ze wzoru

sin 2α = 2sin αco sα

Mamy zatem

0 = --sin-2x----− 4sin x = 2sinx-cos-x-− 4sin x / : 2 cosx cos 3x (cosx cos3x ) sin-x-- --1---- 1−-2-cos-3x- 0 = cos3x − 2sin x = sinx cos 3x − 2 = sinx ⋅ co s3x .

Teraz sprawa jest już bardzo prosta – albo sin x = 0 , czyli

x ∈ {0,π }

albo cos3x = 1 2 , czyli

{ π- π- π-} 3x ∈ 3 ,2π − 3 ,2π + 3 { } 3x ∈ π-, 5-π, 7π / : 3 3 3 3 { π 5π 7 π} x ∈ --,---,--- . 9 9 9

W sumie mamy więc 5 rozwiązań

{ } x ∈ 0 , π-, 5π-, 7π-,π 9 9 9

Odpowiedź: x ∈ { 0, π-, 5π, 7π-,π} 9 9 9