Zadanie nr 9288625
Rozwiąż równanie dla
.
Rozwiązanie
Ze względu na tangens musi oczywiście być . Przekształcamy równanie.
![4sin 2x + 9 tg x = 1 0cos x 9-sinx- 8sin xco sx + cos x = 10 cosx / ⋅cosx 2 2 8sin xco s x + 9 sin x = 1 0cos x 8sin x(1 − sin2x )+ 9 sinx = 10(1 − sin 2x).](https://img.zadania.info/zad/9288625/HzadR1x.gif)
Widać, że możemy podstawić .
![8t(1 − t2)+ 9t = 10(1 − t2) 8t − 8t3 + 9t = 10 − 10t2 3 2 8t − 10t − 17t+ 10 = 0.](https://img.zadania.info/zad/9288625/HzadR3x.gif)
Teraz trudny moment, bo musimy znaleźć pierwiastek wymierny tego równania. Najpierw szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego. Sprawdzając po kolei można znaleźć pierwiastek . Dzielimy teraz równanie przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.
![8t3 − 10t2 − 17t+ 10 = 8(t3 − 2t2)+ 6(t2 − 2t) − 5t+ 10 = 2 = 8t (t − 2) + 6t(t− 2 )− 5 (t− 2) = 2 = (8t + 6t − 5)(t− 2).](https://img.zadania.info/zad/9288625/HzadR6x.gif)
Rozwiązanie odpada, bo
, więc pozostaje równanie
![8t2 + 6t− 5 = 0 2 Δ = 36+ 160 = 1 96 = 14 − 6 − 14 20 5 − 6 + 14 8 1 t = ---------= − ---= − -- ∨ t = ---------= ---= -. 16 16 4 16 16 2](https://img.zadania.info/zad/9288625/HzadR9x.gif)
Pierwsze rozwiązanie odpada i otrzymujemy
![1- sinx = t = 2.](https://img.zadania.info/zad/9288625/HzadR10x.gif)
W przedziale są dwa kąty spełniające ten warunek:
i
.
Odpowiedź: lub