Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9288625

Rozwiąż równanie 4sin 2x+ 9tg x = 10 cosx dla x ∈ ⟨0 ,2 π⟩ .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Ze względu na tangens musi oczywiście być co sx ⁄= 0 . Przekształcamy równanie.

4sin 2x + 9 tg x = 1 0cos x 9-sinx- 8sin xco sx + cos x = 10 cosx / ⋅cosx 2 2 8sin xco s x + 9 sin x = 1 0cos x 8sin x(1 − sin2x )+ 9 sinx = 10(1 − sin 2x).

Widać, że możemy podstawić t = sinx .

8t(1 − t2)+ 9t = 10(1 − t2) 8t − 8t3 + 9t = 10 − 10t2 3 2 8t − 10t − 17t+ 10 = 0.

Teraz trudny moment, bo musimy znaleźć pierwiastek wymierny tego równania. Najpierw szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego. Sprawdzając po kolei można znaleźć pierwiastek t = 2 . Dzielimy teraz równanie przez t − 2 – my zrobimy to grupując wyrazy.

8t3 − 10t2 − 17t+ 10 = 8(t3 − 2t2)+ 6(t2 − 2t) − 5t+ 10 = 2 = 8t (t − 2) + 6t(t− 2 )− 5 (t− 2) = 2 = (8t + 6t − 5)(t− 2).

Rozwiązanie t = 2 odpada, bo sin x ≤ 1 , więc pozostaje równanie

8t2 + 6t− 5 = 0 2 Δ = 36+ 160 = 1 96 = 14 − 6 − 14 20 5 − 6 + 14 8 1 t = ---------= − ---= − -- ∨ t = ---------= ---= -. 16 16 4 16 16 2

Pierwsze rozwiązanie odpada i otrzymujemy

 1- sinx = t = 2.

W przedziale ⟨0,2π ⟩ są dwa kąty spełniające ten warunek: x = π- 6 i x = 5π- 6 .  
Odpowiedź:  π- x = 6 lub  5π- x = 6

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!