Zadanie nr 1020980
Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania
które należą do przedziału .
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcamy dane równanie.
Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru:
Rozwiązaniem pierwszego równania są liczby
Popatrzmy teraz na drugie równanie – oczywiście musi być , bo inaczej i taka wartość nie spełnia tego równania. Możemy więc obie strony podzielić przez i mamy równanie
Jego rozwiązania to
Zauważmy, że otrzymane rozwiązania równania zawierają się we wcześniej uzyskanych rozwiązaniach równania . Wszystkie rozwiązania wyjściowego równania są więc postaci
Sprawdźmy dla jakich wartości otrzymamy rozwiązania w przedziale .
Interesują nas tylko całkowite wartości , więc . Suma, która mamy obliczyć jest więc sumą kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy i pierwszym wyrazie
Suma ta jest więc równa
Sposób II
Przekształcamy dane równanie – tak samo jak w pierwszym sposobie skorzystamy ze wzoru
Mamy zatem
Mamy zatem lub . Rozwiązaniem pierwszego równania są liczby postaci
Rozwiążmy jeszcze drugie równanie – będziemy chcieli skorzystać ze wzoru
na sinus różnicy. Mamy więc
Rozwiązaniem tego równania są liczby postaci
Otrzymane liczby są już jednak zawarte we wcześniej otrzymanych rozwiązaniach:
Sumę rozwiązań, które są zawarte w przedziale obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: