/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 3

Zadanie nr 3092803

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż równanie 2 2 2co sx + 1 = 4 sin x cosx + 2 sin x , dla x ∈ [0 ,2π] .

Rozwiązanie

Zauważmy, że w danym równaniu możemy łatwo podstawić t = cos x .

2 2 2t + 1 = 4(1− t)t + 2(1 − t ) 2t + 1 = 4t− 4t3 + 2 − 2t2 4t3 + 2t2 − 2t− 1 = 0 2 2t (2t + 1) − (2t+ 1) = 0 (2t + 1)(2t2 − 1) = 0 / : 4 ( ) ( √ -) ( √ -) 1- --2- --2- t+ 2 t− 2 t+ 2 = 0 √ -- √ -- 1 2 2 t = − -- lub t = − ---- lub t = ----. 2 2 2

Stąd

1 √ 2- √ 2- co sx = − -- lub cos x = − ---- lub cos x = ---- 2 2 2

Szkicujemy teraz wykres cosinusa.

ZINFO-FIGURE

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

{ } x ∈ π-,π − π-,π − π-,π + π-,π + π-,2π − π- { 4 3 4 4} 3 4 π- 2π- 3π- 5π- 4π- 7π- x ∈ 4 , 3 , 4 , 4 , 3 , 4 .

 
Odpowiedź: { π- 2π-3π- 5π-4π- 7π} x ∈ 4 ,3 , 4 ,4 , 3 ,4

Wersja PDF