Zadanie nr 9315611
Rozwiąż równanie
![2 4 sin x sin 2x + 3 sin x sin 2x = sin 2x + cos x + cosx cos 2x,](https://img.zadania.info/zad/9315611/HzadT0x.gif)
dla .
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że jeżeli rozpiszemy każdy , to w równaniu łatwo będzie wyciągnąć
przed nawias.
![2 4sin x⋅ 2sinx cos x+ 3sin x⋅2 sinx cos x = 2 sin x cosx + cos x + cosx cos 2x cos x(8sin3 x+ 6sin2 x) = cos x(2sin x+ 1+ cos2x ).](https://img.zadania.info/zad/9315611/HzadR2x.gif)
Zatem , czyli
lub
![8 sin 3x + 6 sin 2x = 2 sin x + 1 + cos 2x.](https://img.zadania.info/zad/9315611/HzadR5x.gif)
Teraz rozpisujemy tak, aby móc podstawić
.
![3 2 2 8sin x + 6 sin x = 2sin x+ 1+ (1− 2sin x ) / : 2 4sin3x + 4 sin2x = sin x + 1.](https://img.zadania.info/zad/9315611/HzadR8x.gif)
Podstawiamy .
![4t2(t+ 1) = t+ 1 0 = (4t2 − 1)(t + 1) = (2t − 1)(2t + 1)(t+ 1) t = 1- lub t = − 1- lub t = − 1. 2 2](https://img.zadania.info/zad/9315611/HzadR10x.gif)
Stąd
![sinx = 1- lub sin x = − 1- lub sinx = − 1 2 2](https://img.zadania.info/zad/9315611/HzadR11x.gif)
Szkicujemy teraz wykres sinusa.
Z wykresu odczytujemy rozwiązania.
![{ } x ∈ − 5-π ,− π-,− π, π-, 5π . 6 2 6 6 6](https://img.zadania.info/zad/9315611/HzadR13x.gif)
Musimy jeszcze pamiętać o dodaniu rozwiązania dla którego
.
Odpowiedź: