/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 4

Zadanie nr 1720068

Rozwiąż równanie 4 4 ( π-) 1 sin x + sin x + 4 = 4 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dwa problemy są widoczne gołym okiem w danym równaniu – po pierwsze musimy się jakoś pozbyć czwartych potęg. Po drugie mamy dwie funkcje dwóch różnych kątów – gdybyśmy w drugim sinusie mieli π2- zamiast π4 , to byłoby dużo prościej, bo moglibyśmy skorzystać ze wzorów redukcyjnych. Oba te problemy możemy łatwo rozwiązać jeżeli skorzystamy ze wzoru na cos2x

1 − co s2x cos2x = 1 − 2sin2 x ⇒ sin2 x = ---------- . 2

Używając tego wzoru możemy dane równanie przekształcić następująco

1 ( )2 ( ( π) )2 --= sin2 x + sin2 x + -- 4 ( 4 ) 1 ( 1− cos2x ) 2 1− cos(2x + π) 2 --= ---------- + --------------2-- / ⋅4 4 2 2 2 2 1 = (1− cos2x ) + (1+ sin 2x) 1 = 1 − 2co s2x + cos2 2x + 1 + 2sin 2x + sin22x 2 2 − 1 = 2sin 2x − 2 cos2x + (sin 2x+ cos 2x ) − 2 = 2sin 2x − 2 cos2x / : (− 2) 1 = cos 2x− sin 2x.

Otrzymane równanie możemy rozwiązać na wiele różnych sposobów.

Sposób I

Korzystamy ponownie ze wzoru na cos2x i ze wzoru na sin2x

sin 2x = 2 sinx cos x.

Mamy zatem

1 = co s2x − sin2x = 1 − 2 sin 2x − 2sin xco sx / : (− 2) 0 = sin x(sinx + co sx).

Mamy zatem sinx = 0 , czyli (w zadanym przedziale)

x ∈ {0,π ,2π }

lub

sin x = − co sx / : cosx tg x = − 1 { } x ∈ 3π-, 7π 4 4

(mogliśmy podzielić równanie przez co sx , bo jeżeli cosx = 0 to też sin x = 0 , co jest sprzeczne z jedynką trygonometryczną).

W sumie równanie ma więc pięć rozwiązań

{ 3 π 7π } x ∈ 0,---,π ,---,2π 4 4

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę sinusów

sin(x − y) = sin xco sy − siny cos x

Mamy zatem

( √ -) 1 = cos2x − sin 2x /⋅ − --2- 2 √ -- --2- π- π- − 2 = sin 2x cos 4 − sin 4 co s2x √ -- ( ) − --2-= sin 2x− π- . 2 4

Teraz musimy być ostrożni, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,2π ⟩ , ale

π ⟨ π 15π ⟩ 2x − -- ∈ − --,---- . 4 4 4

W tym przedziale otrzymujemy następujące rozwiązania

{ } 2x − π- ∈ − π-,π + π-,2π − π-,3π + π-,4π − π- / + π- 4 { 4 4 }4 4 4 4 3π 7π 2x ∈ 0,---,2π ,---,4π / : 2 { 2 2 } 3π- 7π- x ∈ 0, 4 ,π , 4 ,2π .

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów

x−--y- x-+-y- cosx − cosy = −2 sin 2 sin 2 .

Mamy zatem

( π- ) 1 = co s2x − sin2x = cos 2x − cos 2 − 2x (π- ) π- 1 = − 2 sin 2x-−---2-−-2x--sin 2x-+-2-−--2x- ( 2 ) 2 ( ) π- π- √ -- π- √ -- 1 = − 2 sin 2x− 4 sin 4 = − 2 sin 2x− 4 / : (− 2) √ -- ( ) − --2-= sin 2x − π- . 2 4

Dokładnie tak samo jak w II sposobie otrzymujemy stąd

{ } 3π- 7π- x ∈ 0, 4 ,π , 4 ,2π .

 
Odpowiedź: { 3π- 7π- } x ∈ 0, 4 ,π , 4 ,2π

Wersja PDF