/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 4

Zadanie nr 8528417

Rozwiąż równanie 4 16sin x+ 8co s2x = 5 w przedziale ⟨− 2π ,− π⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcimy równanie tak, aby podstawić za sin x . Skorzystamy ze wzoru

cos2x = 1− 2sin2 x.

Mamy zatem

4 2 16 sin x + 8(1 − 2 sin x) = 5 16 sin4x − 16 sin2x + 3 = 0.

Podstawiamy teraz 2 t = sin x .

16t2 − 16t + 3 = 0 Δ = 256 − 19 2 = 64 16− 8 1 16 + 8 3 t = -------= -- lub t = -------= -. 3 2 4 32 4

Mamy zatem

1 3 sin2 x = -- ∨ sin2x = -- 4 4 √ -- √ -- 1- 1- --3- --3- sin x = − 2 ∨ sinx = 2 ∨ sin x = − 2 ∨ sin x = 2 .

Szkicujemy teraz sinusa.

PIC

Z wykresu odczytujemy rozwiązania równania

{ } { } x ∈ − 3-π ± π,− 3-π ± π- = − 5π-,− 4-π,− 11π-,− 7π- . 2 6 2 3 3 3 6 6

Sposób II

Tym razem spróbujemy podstawić za cos2x . Korzystamy ze wzoru

2 2 co s2x = 1− 2sin x ⇒ 2sin x = 1 − cos 2x.

Przekształcamy dane równanie.

16 sin4x + 8 cos 2x = 5 4(2 sin2x )2 + 8 cos2x = 5 2 4(1 − co s2x) + 8 cos2x = 5.

Podstawiamy teraz t = cos2x .

2 4(1 − t) + 8t = 5 4 − 8t + 4t2 + 8t = 5 4t2 = 1 1 1 t = − -- lub t = -. 2 2

Mamy zatem

1 1 cos2x = − -- ∨ co s2x = -- 2 2

Teraz trzeba odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨− 2π ,− π ⟩ , ale 2x ∈ ⟨− 4π ,− 2π ⟩ . Szkicujemy teraz wykres cosinusa.

PIC

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

{ } 2x ∈ − 3π − π-,− 3π + π-,− 4π + π,− 2π − π- = 3 3 3 3 { 10 π 8π 11π 7π } = − ----,− ---,− ----,− --- { 3 3 3 3} 5π- 4π- 11-π 7π- x ∈ − 3 ,− 3 ,− 6 ,− 6 .

 
Odpowiedź: { 5π- 4π- 11π 7π} x ∈ − 3 ,− 3 ,− 6 ,− 6

Wersja PDF