Zadanie nr 4123820

Wyznaczyć wszystkie macierze stopnia 2, których kwadrat jest równy macierzy [ ] 2 0 0 2 .

Rozwiązanie

Mamy równanie

[ ]2 [ ] a b = 2 0 c d 0 2 [a2 + bc ab + bd] [2 0] 2 = ac+ cd bc + d 0 2 ( a2 + bc = 2 |||{ b(a+ d) = 0 | c(a+ d) = 0 ||( 2 bc+ d = 2.

Ze środkowych równań wynika, że a = −d lub b = c = 0 . W tej drugiej sytuacji dostajemy układ

{ a2 = 2 2 d = 2.

Daje to nam cztery rozwiązania

[ √ -- ] [ √ -- ] [ √ -- ] [ √ -- ] 2 √0--, − 2 √0--, 2 0√ --, − 2 0√ -- 0 2 0 2 0 − 2 0 − 2

Zajmijmy się teraz przypadkiem a = −d . Z układu pozostaje nam wtedy równanie

2 a + bc = 2.

Jeżeli b = 0 lub c = 0 to mamy √ -- a = ± 2 i lub dowolne. Można o tych rozwiązaniach myśleć jak o uogólnieniu otrzymanych wcześniej.

Jeżeli b ⁄= 0 i c ⁄= 0 , to wybieramy dowolnie, też dowolnie i mamy

2−--a2 c = b .

Daje to nam macierze postaci

[ ] a b 2−a2 −a b