/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Wykładnicze/Z parametrem

Zadanie nr 2388426

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie | √ --| || 1x − 3 ||− m = 0 7 ma dwa pierwiastki, których iloczyn jest ujemny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapiszmy dane równanie w postaci

|| 1 √ -|| ||-x-− 3|| = m . 7

Naszkicujmy teraz wykres funkcji, którą mamy z lewej strony równania: rozpoczynamy od ( ) y = 1 x 7 , potem przesuwamy ten wykres o √ 3- w dół i na koniec odbijamy część pod osią Ox do góry.

PIC

Z wykresu widać, że dane równanie ma dwa rozwiązania dla √ -- m ∈ (0, 3) . Ponadto, jeżeli m jest większe niż druga współrzędna punktu P przecięcia narysowanego wykresu z osią Oy , to rozwiązania te będą miały różne znaki (bo będą po różnych stronach osi Oy ). Drugą współrzędną punktu P wyznaczmy podstawiając x = 0 do wzoru funkcji.

√ -- √ -- f (0) = |1− 3| = 3− 1.

W takim razie równanie będzie miało dwa pierwiastki różnych znaków jeżeli √ -- √ -- m ∈ ( 3 − 1, 3) .  
Odpowiedź: m ∈ (√ 3− 1,√ 3)

Wersja PDF