/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Potęgowe i pierwiastki

Zadanie nr 5163050

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Zbadaj liczbę rozwiązań równania ∘ --------2 2|x|− x = a w zależności od wartości parametru a .

Rozwiązanie

Oczywiście jeżeli a < 0 to równanie nie ma rozwiązań. Załóżmy więc, że a ≥ 0 . Możemy wtedy podnieść równanie stronami do kwadratu (w zasadzie zawsze możemy podnieść, ale dzięki temu, że obie strony są dodatnie otrzymany równanie równoważne wyjściowemu).

2|x |− x 2 = a2.

Sposób I

Najprostsze możliwe rozwiązanie, to naszkicowanie wykresu funkcji

{ 2 2x − x 2 dla x ≥ 0 f(x ) = 2|x|− x = 2 − 2x − x dla x < 0.
PIC

Z wykresu widać, że równanie f (x) = t = a2

( || 0 rozwi ązań dla t > 1 |{ 2 rozwi ązania dla t = 1 ||| 3 rozwi ązania dla t = 0 ( 4 rozwi ązania dla t ∈ (0 ,1)

(przypominam, że interesują nas tylko dodatnie wartości 2 t = a ). Ponieważ możemy jednoznacznie wyliczyć a z warunku 2 a = t , równanie 2 f(x ) = a ma dokładnie tyle samo rozwiązań co równanie f (x) = t dla t = a2 .

Sposób II

Zadanie można też rozwiązać algebraicznie. Mamy równanie

(|x|)2 − 2|x|+ a2 = 0

Podstawiając |x | = t mamy

t2 − 2t + a2 = 0 .

Sprawdźmy ile rozwiązań ma to równanie

Δ = 4 − 4a2 = − (a − 1)(a + 1).

Widać więc, że dla a ∈ (1,+ ∞ ) nie ma w ogóle rozwiązań (przypominam, że cały czas mamy założenie a ≥ 0 !). Musimy teraz sprawdzić co się dzieje w przedziale a ∈ ⟨0 ,1⟩ . Dla końców możemy sprawdzić wprost, dla a = 0 mamy t = 0 lub t = 2 , co daje nam 3 wartości x ; dla a = 1 mamy t = 1 , co daje 2 wartości x . Jeżeli natomiast a ∈ (0,1 ) , to musimy się dokładniej zastanowić co jest grane – wiemy, że są dwa pierwiastki t , ale nie wiemy ile dają one wartości x .

Jak wygląda parabola będąca wykresem powyższego równania? Pierwsza współrzędna jej wierzchołka to tw = 1 . Zatem na pewno jeden z pierwiastków jest na prawo od 1, więc da nam dwie wartości x . Aby zobaczyć czy drugi pierwiastek jest dodatni czy ujemny liczymy 2 f (0) = a > 0 . Zatem oba pierwiastki są dodatnie i dadzą one 4 wartości x .

 
Odpowiedź: Liczba rozwiązań: ( |||{ 0 dla a ∈ (− ∞ ,0) ∪ (1,+ ∞ ) 2 dla a = 1 | 3 dla a = 0 ||( 4 dla a ∈ (0,1)

Wersja PDF