Zadanie nr 6144252

Macierz ⌊ 1+ i i 1 − i⌋ ⌈ ⌉ i i 0 1 0 4 przedstawić w postaci sumy dwóch macierzy, z których jedna jest hermitowska a druga antyhermitowska.

Rozwiązanie

Niech będzie macierzą hermitowską, a antyhermitowską oraz

⌊1 + i i 1− i⌋ ⌈ ⌉ A + B = i i 0 . 1 0 4

Wiemy, że --T A = A i -T B = −B . Zatem sprzęgając hermitowsko powyższą równość mamy

------------------ ⌊1 + i i 1 − i⌋T ------T ⌈ ⌉ A + B = i i 0 1 0 4 ⌊ ⌋ T --T -T 1− i −i 1+ i A + B = ⌈ −i −i 0 ⌉ 1 0 4 ⌊ ⌋ 1 − i −i 1 A − B = ⌈ −i −i 0⌉ 1 + i 0 4

Dodajemy teraz do tej równości równość z samego początku

⌊1 + i i 1 − i⌋ ⌊ 1 − i −i 1⌋ ⌊ 2 0 2 − i⌋ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ 2A = i i 0 + −i −i 0 = 0 0 0 1 0 4 1 + i 0 4 2+ i 0 8 ⌊ 1 0 1 − i⌋ ⌈ 2⌉ A = 0 0 0 1 + 2i 0 4

Zatem

⌊ 1+ i i 1 − i⌋ ⌈ ⌉ B = i i 0 − A = 1 0 4 ⌊1 + i i 1− i⌋ ⌊ 1 0 1 − i⌋ ⌊ i i − i⌋ ⌈ ⌉ ⌈ 2⌉ ⌈ 2⌉ = i i 0 − 0 0 0 = i i 0 . 1 0 4 1+ i2 0 4 − i2 0 0

Oczywiście powyższa procedura działa dla dowolnej macierzy i daje rozkład

-T --T C-+--C-- C-−-C--- C = 2 + 2 ,

gdzie pierwsza macierz jest hermitowska, a druga antyhermitowska.