/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z e^x

Zadanie nr 3892325

Oblicz całkę ∫ 3 x2 x e dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Całkujemy przez części. Ponieważ 2 ex nie jest pochodną żadnej znanej nam funkcji, natomiast ( ) x2 ′ x2 e = 2xe , więc przyjmiemy ′ x2 u(x ) = xe , v(x ) = x2 .

| | ∫ 3 x2 ||u ′ = xex2 v = x 2|| 1 2 x2 ∫ x2 x e dx = || 1 x2 ′ || = 2-x e − xe dx = u = 2 e v = 2x 1- 2 x2 1-x2 1- x2 2 = 2 x e − 2e = 2 e (x − 1 )+ C .

Sposób II

Podstawiamy w całce t = x 2 , a potem liczymy przez części.

∫ | 2 | ∫ | ′ t | x2ex2 ⋅xdx = || t = x ||= 1- tetdt = ||u = e v = t||= |dt = 2xdx | 2 |u = et v′ = 1| 1 1 ∫ 1 1 2 = -tet −-- etdt = -et(t− 1 )+ C = --ex(x 2 − 1 )+ C . 2 2 2 2

 
Odpowiedź: 1 x2 2 2e (x − 1) + C

Wersja PDF