Zadanie nr 2998892

Oblicz całkę ∫ √ -2----- x + 2dx .

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawmy √ -- x = 2 sin ht . Mamy wtedy

2 2 2 x + 2 = 2(sinh t+ 1) = 2co sh t

oraz

∫ ∘ ------- | √ -- | ∫ ∘ --------- √ -- x 2 + 2dx = || x = √ -2sinh t || = 2 cosh2 t⋅ 2 coshtdt = |dx = 2c oshtdt| ∫ ∫ 1 = 2co sh2tdt = (1 + cosh 2t)dt = t + --sinh 2t+ C = 2 = arsinh √x--+ sinh tco sht + C = 2 ( ∘ -------) ∘ ------- = ln √x--+ x2+ 1 + √x-- 1+ x2-+ C = 2 2 2 2 ∘ ------- ∘ ------- = ln √1--+ ln(x + x 2 + 2 )+ x- x 2 + 2 + C = 2 2 ∘ ------- x∘ ------- = ln(x + x2 + 2)+ -- x2 + 2+ C1. 2

Sposób II

Stosujemy I podstawienie Eulera √ -2----- x + 2 = −x + t .

1 t2 + 2 dx = --⋅---2--dt 2 t ∘ --2---- 1- t2 +-2 x + 2 = 2 ⋅ t .

Mamy zatem

∫ ∫ ∫ ∘ -2----- 1- t2 +-2 1- t2 +-2 1- t4-+-4t2 +-4- x + 2dx = 2 ⋅ t ⋅ 2 ⋅ t2 dt = 4 t3 dt = 1 ∫ ( 4 4) 1 1 = -- t+ --+ -3 dt = -t2 + ln |t|− --2 + C . 4 t t 8 2t

Zanim przekształcimy to wyrażenie dalej, obliczmy i 1- t2 .

∘ ------- ∘ ------- ∘ ------- t2 = (x + x2 + 2)2 = x 2 + 2x x2 + 2 + x2 + 2 = 2x2 + 2+ 2x x 2 + 2 √ ------- √ ------- 1- -------1-------- (x-−---x2-+-2)2- 2x2 +-2−--2x--x2-+-2- t2 = √ -2-----2 = (x 2 − x 2 − 2 )2 = 4 . (x + x + 2)

Mamy więc

∫ ∘ ------- 1 ( 1) x 2 + 2dx = -- t2 − 4 ⋅-2 + ln|t|+ C = 8 t 1- ∘ -2----- ∘ -2----- = 8 ⋅4x x + 2 + ln|x + x + 2|+ C = x ∘ ------- ∘ ------- = -- x2 + 2 + ln |x + x2 + 2|+ C . 2

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru

∫ ∘ ------- √--dx----= ln |x+ x2 + k|+ C, x2 + k

który można wyprowadzić używając I podstawienia Eulera.

Przekształcimy teraz szukaną całkę na dwa sposoby: pierwszy to całkowanie przez części, a w drugim przeniesiemy pierwiastek do mianownika.

∫ | √ -------| ∫ ∘ -2----- ||u′ = 1 v = x 2 + 2 || ∘ -2----- --x2dx--- x + 2dx = ||u = x v′ = √-x--- || = x x + 2 − √ -2----- x2+ 2 x + 2 ∫ ∘ ------- ∫ x 2 + 2 ∫ x2dx ∫ 2dx x2 + 2dx = √---2----dx = √--2-----+ √--2----- x + 2 x + 2 x + 2

Dodając te dwie równości stronami mamy

∫ ∫ ∘ -2----- ∘ -2----- ---dx---- 2 x + 2dx = x x + 2 + 2 √x--2 +-2-= ∘ ------- ∘ ------- = x x2 + 2 + 2 ln |x + x2 + 2| + C ∫ ∘ ------- x∘ ------- ∘ ------- x2 + 2dx = -- x2 + 2+ ln |x+ x2 + 2|+ C. 2

Odpowiedź: x √ -2----- √ -2----- 2 x + 2+ ln |x+ x + 2|+ C