/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami

Zadanie nr 4658045

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ --xdx--- √ 1+√3x-2 .

Rozwiązanie

Ponieważ

xdx 2 1 ∘------√----= x (1+ x3)− 2dx, 1+ 3 x2

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

xm (a+ bxn )pdx.

W naszej sytuacji mamy

m-+--1 = 2-= 3, n 2 3

więc możemy podstawić t2 = 1+ x23 (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy

2 − 1 2tdt = --x 3dx, 3

oraz

∫ 2 1 ∫ 4 2 1 1 ∫ 1 x(1 + x3)− 2dx = x 3(1+ x3)− 2 ⋅x −3dx = (t2 − 1)2 ⋅-⋅3tdt = ∫ t = 3 (t4 − 2t2 + 1)dt = 3t5 − 2t3 + 3t + C = 5 3 ∘ -----√3----- ∘ -----√3----- ∘ ----3√---- = -- (1 + x2)5 − 2 (1 + x 2)3 + 3 1+ x2 + C . 5

 
Odpowiedź: ∘ ------------ ∘ ------------ ∘ --------- 3 (1+ 3√ x2)5 − 2 (1 + √3x2)3 + 3 1 + √3x 2 + C 5

Wersja PDF