/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami

Zadanie nr 7262862

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ -----dx------ √ (x−-1)3(x−2)- .

Rozwiązanie

Ponieważ

∘ (-------)-3 -------dx--------- ---1----- x-−--2 ∘ (x-−-1)3(x-−-2)-= (x− 2)2 x − 1 dx,

możemy podstawić 2 x−2- t = x−1 . Mamy wtedy

t2(x− 1) = x − 2 x(t2 − 1) = t2 − 2 2 x = t-−-2- t2 − 1 2t(t2 − 1) − (t2 − 2)⋅ 2t 2t dx = ---------2-----2--------dt = --2-----2dt (t − 1) (t − 1) t2 − 2 −t 2 x − 2 = t2-−-1-− 2 = t2 −-1-.

Stąd

∘ ----------- ∫ ( ) 3 ∫ 2 2 ----1---- x-−-2- dx = (t--−-1)- ⋅t3 ⋅---2t---dt = (x − 2)2 x − 1 t4 (t2 − 1)2 ∫ ∘ ------ = 2dt = 2t + C = 2 x-−-2-+ C. x − 1

 
Odpowiedź: ∘ x−2- 2 x−1 + C

Wersja PDF