Zadanie nr 7574251

Oblicz całkę ∫ √ ----------2- x 1+ 4x − x dx .

Rozwiązanie

Rozbijamy wyrażenie pod całką na dwie części tak, aby otrzymać pochodną trójmianu, który znajduje się pod pierwiastkiem.

∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------ x 1 + 4x − x2dx = − 1- (− 2x + 4) 1 + 4x − x 2dx+ 2 1 + 4x − x2dx . 2

Pierwszą całkę liczymy podstawiając za trójmian pod pierwiastkiem

∫ | | ∫ 1- ∘ ----------2- || t = 1 + 4x − x 2 || 1- √ - − 2 (− 2x + 4) 1+ 4x − x dx = |dt = (− 2x + 4)dx | = − 2 tdt = ∫ ∘ --------------- = − 1- t12dt = − 1-t32 + C = − 1- (1 + 4x − x2)3 + C . 2 3 3

Drugą całkę policzymy korzystając ze wzoru

∫ ∘ -------- a2 x x ∘ -------- a 2 − x 2dx =---arcsin ---+ -- a2 − x2 + C . 2 |a| 2

Liczymy

∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------- ||t = x − 2|| 2 1+ 4x − x2dx = 2 5 − (x − 2)2dx = || || = ∫ dt = dx ∘ -----2 -t-- ∘ -----2 = 2 5 − t dt = 5arcsin √ 5-+ t 5 − t + C = ∘ ------------ = 5arcsin x−√--2-+ (x − 2) 1 + 4x − x2 + C. 5

Mamy więc

∫ ∘ -----------2 x 1 + 4x − x dx = ∘ --------------- ∘ ------------ = − 1- (1+ 4x − x2)3 + 5a rcsin x√−-2-+ (x − 2) 1+ 4x − x2 + C . 3 5

Odpowiedź: ∘ --------------- √ ------------ − 13 (1+ 4x − x2)3 + 5a rcsin x√−2-+ (x − 2) 1 + 4x − x2 + C 5