/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami

Zadanie nr 7712360

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ √ -------2- 10x − x dx .

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

∫ ∘ -------- 2 ∘ -------- a 2 − x 2dx = a-arcsin x--+ x- a2 − x2 + C , 2 |a| 2

który można łatwo wyprowadzić podstawiając x = asint .

Sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

∫ ∫ -------------- | | ∫ ∘ --------2 ∘ 2 ||x − 5 = t|| ∘ ------2 10x − x dx = 25 − (x − 5) dx = | dx = dt| = 25 − t dt = ∘ ------- ∘ --------- = 25-arcsin t-+ t- 25 − t2 + C = 2-5a rcsin x-−-5-+ x-−-5- 10x − x2 + C. 2 5 2 2 5 2

 
Odpowiedź: 25 x−-5 x−5√ --------2 2 arcsin 5 + 2 10x − x + C

Wersja PDF