Zadanie nr 8535809

Oblicz całkę ∫ -----dx------ 3√ (x−1)(x+-1)2- .

Rozwiązanie

Ponieważ

∘ ------ ∘------dx---------= 3 x-+-1-⋅ -dx--, 3 (x − 1)(x + 1)2 x − 1 x+ 1

możemy podstawić t3 = x+1- x−1 . Mamy wtedy

t3(x− 1) = x + 1 3 3 x(t − 1) = t + 1 t3 + 1 x = 3----- t − 1 3t2(t3 −-1)-−-(t3 +-1)⋅-3t2 --−-6t2-- dx = (t3 − 1)2 dt = (t3 − 1)2dt 3 3 x + 1 = t-+-1-+ 1 = -2t---. t3 − 1 t3 − 1

Stąd

∫ ∘ ------ ∫ ∫ 3 x+--1- -dx--- t3 −-1 --−-6t2-- -−3dt- x− 1 ⋅x + 1 = t⋅ 2t3 ⋅(t3 − 1)2dt = t3 − 1 = ∫ = -------−3dt-------. (t− 1)(t2 + t + 1)

Rozkładamy teraz wyrażenie podcałkowe na ułamki proste.

− 3 A Bt + C -------------------= ----- + ---------- (t − 1)(t2 + t+ 1 ) t− 1 t2 + t+ 1 − 3 A (t2 + t+ 1) + (Bt + C )(t− 1) ---------2---------= ---------------2---------------- (t − 1)(t + t+ 1 ) (t− 1 )(t + t+ 1) − 3 = t2(A + B) + t(A − B + C) + (A − C) ( |{ A + B = 0 A − B + C = 0 |( A − C = − 3.

Podstawiając A = −B w drugim i trzecim równaniu otrzymujemy układ równań

{ −2B + C = 0 −B − C = −3 .

Dodajemy teraz równania stronami i otrzymujemy − 3B = − 3 , czyli B = 1 . Stąd A = − 1 i C = 2 . Mamy więc

∫ − 3dt ∫ ( 1 t+ 2 ) --------2----------= − -----+ 2--------- dt = (t− 1 )(t + t+ 1() t− 1 t + t+ 1 ) ∫ 1- --2t+--1-- 3- ----1----- = − ln |t − 1|+ 2 ⋅t2 + t+ 1 + 2 ⋅t2 + t+ 1 dt = ∫ = − ln |t − 1|+ 1-ln |t2 + t+ 1|+ 3- -----dt----- = 2 2 (t+ 1)2 + 3 √ ---------- ∫ 2 4 ---t2-+-t+--1 -----dt----- = ln |t− 1 | + 2 (2t√+1)2 + 1 = √ ---------- 3 t2 + t+ 1 √ -- 2t+ 1 = ln------------ + 3a rctg -√---- + C . |t− 1 | 3

Odpowiedź: √ 2----- √ -- ln --t|t+−t1+|1-+ 3 arctg 2t√+1-+ C 3 , gdzie ∘ ---- t = 3 xx+−11-