/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami

Zadanie nr 8985092

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ ----dx----- (x2− 1)√x-2−-1 .

Rozwiązanie

Podstawiamy x = cosh t , gdzie t ≥ 0 . Mamy wtedy 2 2 x − 1 = sinh t oraz

∫ || || ∫ ∫ -------dx√--------= | x = cosh t |= ----sin∘htdt-----= --dt---= (x2 − 1) x2 − 1 |dx = sinh tdt| sin h2t sinh 2t sinh2 t cosh t x = − ctgh t+ C = − ------+ C = − √--------+ C . sin ht x 2 − 1

Uważny czytelnik powinien zauważyć, że licząc całkę przy pomocy podstawienia x = cosh t ograniczyliśmy dziedzinę funkcji podcałkowej do przedziału [1 ,+∞ ) . Ponieważ jednak funkcja ta jest parzysta, a otrzymany wynik jest nieparzysty, to wynik ten jest poprawny bez tego ograniczenia.  
Odpowiedź: − √-x---+ C x2− 1

Wersja PDF