Zadanie nr 9126780

Oblicz całkę ∫ √ -2----- x + kdx .

Rozwiązanie

Sposób I

Stosujemy I podstawienie Eulera √ -2----- x + k = −x + t .

2 dx = 1-⋅ t-+-kdt 2 t2 ∘ -2----- 1 t2 + k x + k = 2-⋅---t--.

Mamy zatem

∫ ∘ ------- ∫ 1 t2 + k 1 t2 + k 1 ∫ t4 + 2t2k+ k2 x2 + kdx = 2 ⋅--t---⋅2-⋅ --t2---dt = 4- ------t3------dt = ∫ ( 2 ) 2 = 1- t+ 2k-+ k-- dt = 1-t2 + k-ln|t|− k--+ C. 4 t t3 8 2 8t2

Zanim przekształcimy to wyrażenie dalej, obliczmy 2 t i 1- t2 .

2 ∘ --2----2 2 ∘ --2---- 2 2 ∘ --2---- t = (x + x + k) = x + 2√x--x--+-k + x + k = 2x +√ -k+--2x x + k 1 1 (x − x2 + k)2 2x2 + k− 2x x2 + k -2 = -----√----------= ---2----2-----2-= ----------2---------. t (x + x 2 + k)2 (x − x − k ) k

Mamy więc

( ) ∫ ∘ ------- 1 2 2 1 k x 2 + kdx = -- t − k ⋅-2 + --ln|t|+ C = 8 t 2 1- ∘ -2----- k- ∘ -2----- = 8 ⋅4x x + k + 2 ln|x + x + k|+ C = x ∘ ------- k ∘ ------- = -- x 2 + k +--ln |x + x2 + k|+ C . 2 2

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru

∫ dx ∘ ------- √--------= ln |x+ x2 + k|+ C, x2 + k

który można wyprowadzić używając I podstawienia Eulera.

Przekształcimy teraz szukaną całkę na dwa sposoby: pierwszy to całkowanie przez części, a w drugim przeniesiemy pierwiastek do mianownika.

∫ ∘ ------- || ′ √ -2----|| ∘ ------- ∫ 2 x2 + kdx = ||u = 1 v =′ xx+ k||= x x2 + k − √-x-dx--- |u = x v = √x-2+k- | x2 + k ∫ ∘ ------- ∫ 2 ∫ 2 ∫ x2 + kdx = √x--+-k--dx = √-x-dx---+ √-kdx---- x 2 + k x2 + k x2 + k

Dodając te dwie równości stronami mamy

∫ ∘ ------- ∘ ------- ∫ dx 2 x2 + kdx = x x2 + k+ k √--------= ∘ ------- x2 +∘-k----- = x x2 + k+ k ln|x + x 2 + k| + C ∫ ------- ------- ------- ∘ 2 x-∘ 2 k- ∘ 2 x + kdx = 2 x + k + 2 ln|x + x + k| + C .

Odpowiedź: √ ------- √ ------- x x2 + k+ kln|x + x 2 + k| + C 2 2