/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne

Zadanie nr 2291750

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ x3−-2x2−-1 x2− 1 dx .

Rozwiązanie

Liczymy

∫ 3 2 ∫ 3 2 x--−-2x--−-1dx = (x-−--x)-−-2(x--−-1)-+-x-−-3dx = x2 − 1 ∫ ( x2 − 1) ∫ x-−-3-- 1- 2 -x−--3- = x − 2 + x2 − 1 dx = 2x − 2x + x 2 − 1 dx.

Ostatnią całkę liczymy szukając rozkładu na ułamki proste.

----x-−-3------= --a---+ --b---. (x − 1)(x + 1) x − 1 x + 1

Mnożąc obie strony przez x2 − 1 mamy

x − 3 = a(x+ 1)+ b(x− 1) = (a + b)x + (a − b).

Daje to nam układ równań

{ a + b = 1 a − b = − 3

Dodając równania stronami mamy a = − 1 . Stąd b = 2 oraz

∫ ∫ ∫ x-−-3-dx = − -dx--+ 2 -dx---= x2 − 1 x− 1 x + 1 = − ln |x − 1|+ 2ln |x + 1| + C .

Mamy zatem

∫ x3 − 2x2 − 1 1 2 ----2-------dx = -x − 2x − ln |x− 1|+ 2 ln|x + 1|+ C. x − 1 2

 
Odpowiedź: 12x 2 − 2x − ln |x− 1|+ 2 ln|x + 1|+ C

Wersja PDF