/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne

Zadanie nr 6033220

Oblicz całkę ∫ (2x2−1)2- x2−1 dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Liczymy

∫ 2 2 ∫ 4 2 ∫ ( 2 2 ) (2x--−-1)-dx = 4x--−-4x--+-1dx = 4x-(x-−--1)-+ ---1--- dx = x2 − 1 x 2 − 1 x2 − 1 x2 − 1 ∫ ( 1 ) 4 ∫ dx = 4x 2 + -2----- dx = -x 3 + -2----. x − 1 3 x − 1

Ostatnią całkę liczymy zgadując rozkład na ułamki proste.

∫ ∫ ( ) ------dx------- 1- --1--- --1--- (x − 1)(x + 1) = 2 x − 1 − x+ 1 dx = || || = 1-ln|x − 1| − 1-ln|x + 1|+ C = 1ln |x-−-1| + C. 2 2 2 |x + 1|

Mamy zatem

∫ 2 2 | | (2x-−--1)-- 4- 3 1- ||x−--1|| x2 − 1 dx = 3x + 2 ln |x+ 1|+ C.

 
Odpowiedź: | | 4 3 1 |x−1| 3 x + 2 ln |x+1|+ C

Wersja PDF