Zadanie nr 5302372

Oblicz całkę ∫ ---dx---- sinx+ cosx .

Rozwiązanie

Stosujemy podstawienie uniwersalne x t = tg 2 .

∫ || x --2- || -----dx------ = || t = tg 2 2 dx = 1+t2dt|| = sin x+ cosx |co sx = 1−t2- sin x = -2t2| ∫ 2 1+t ∫ 1+t ---1+--t--- --2--- ----dt----- = 2t + 1 − t2 ⋅ 1+ t2 dt = − 2 t2 − 2t− 1 .

Ostatnią całkę obliczamy korzystając z rozkładu na ułamki proste.

t2 − 2t− 1 = 0 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- 2−--2--2- √ -- 2+--2--2- √ -- t = 2 = 1 − 2 ∨ t = 2 = 1 + 2 2 √ -- √ -- t − 2t− 1 = (t− 1+ 2)(t− 1 − 2).

Łatwo teraz zgadnąć rozkład na ułamki proste

-----1----- = ---------√--1---------√--- = t2 − 2t− 1 (t − 1 + 2)(t− 1− 2) 1 ( 1 1 ) = -√---- --------√---− --------√--- 2 2 t− 1− 2 t− 1+ 2

Zatem

∫ dt 1 √ -- 1 √ -- -2---------= -√---ln|t− 1− 2|− --√--ln |t − 1 + 2|+ C = t − 2t − 1 2 2 | -| 2 2 1 ||t − 1− √ 2|| = -√---ln|--------√--| + C. 2 2 |t − 1+ 2|

Mamy więc

∫ || x √ -|| -----dx------= − √1--ln ||tg-2 −-1−--√-2||+ C. sinx + co sx 2 |tg x2 − 1+ 2|

Odpowiedź: | | 1 |tg x−1−√ 2| − √-2 ln ||tg-2x−1+√-2||+ C 2