Zadanie nr 6129547

Oblicz całkę ∫ ----dx----- 3sinx+ 4cosx .

Rozwiązanie

Stosujemy podstawienie uniwersalne x t = tg 2 .

∫ || x --2- || -------dx-------= || t = tg 2 2 dx = 1+t2dt|| = 3 sin x + 4 cosx |cos x = 1−t2 sin x = -2t2| ∫ 2 1+t∫ 1+t ∫ ----1+--t----- --2--- ------dt------ -----dt----- = 6t+ 4(1− t2) ⋅ 1+ t2 dt = 3t + 2(1 − t2) = − 2t2 − 3t − 2.

Ostatnią całkę obliczamy korzystając z rozkładu na ułamki proste.

2 2t − 3t− 2 = 0 Δ = 9 + 16 = 25 3− 5 1 3 + 5 t = ------= − -- ∨ t = ------= 2 4 2 ( ) 4 2 1- 2t − 3t− 2 = 2 t + 2 (t− 2 ).

Szukamy więc rozkładu postaci

-----1------ --a-- --b-- 2t2 − 3t− 2 = 1 + t − 2 t+ 2

Mnożąc stronami przez ( 1) 2 t+ 2 (t− 2) mamy

1 = a(2t − 4) + b(2t + 1) = t(2a + 2b) − 4a + b.

Mamy zatem

{ a+ b = 0 − 4a+ b = 1

Odejmując od pierwszego równania drugie otrzymujemy 1 a = − 5 . Stąd 1 b = 5 oraz

∫ dx ∫ dt ----------------= − --2--------- = 3si∫nx + 4 cos x∫ 2t − 3t− 2 1- --dt- 1- -dt-- = 5 t + 1 − 5 t− 2 = | 2 | | | 1 | 1| 1 1 ||t+ 12|| = --ln ||t+ -||− --ln |t− 2| + C = --ln ||-----|| + C 5 2 5 5 t− 2

Zatem

∫ || x 1 || -------dx------- 1- |tg-2-+-2 | 3 sin x + 4 cosx = 5 ln|| tg x − 2 ||+ C . 2

Odpowiedź: || x 1|| 1 ln |tg2x+-2|+ C 5 |tg2− 2|