/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne

Zadanie nr 7115583

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ 2 xsin xdx .

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru

1 co s2x = 1− 2sin2x ⇒ sin2 x = --(1− co s2x) 2

mamy

( ) ∫ 2 ∫ 1 xsin xdx = x --(1− cos2x ) dx = ∫ ∫ 2 ∫ 1- 1- x2- 1- = 2 xdx − 2 x cos 2xdx = 4 − 2 xcos 2xdx .

Ostatnią całkę liczymy całkując przez części.

∫ | | ∫ ||u = x v′ = co s2x || x- 1- x cos2xdx = |u′ = 1 v = 1sin2x | = 2 sin 2x − 2 sin 2xdx = 2 = x-sin 2x + 1-cos 2x + C . 2 4

Mamy więc

∫ 2 x 2 x 1 x sin xdx = ---− --sin 2x − --cos 2x + C . 4 4 8

 
Odpowiedź: x2 x 1 4 − 4 sin2x − 8 cos 2x + C

Wersja PDF