/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Wzór z wykresu/3 niewiadome

Zadanie nr 7314190

Wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W (1,4) . Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale ⟨− 2,2⟩ wynosi -5.

  • Przedstaw wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
  • Rozwiąż nierówność f(x) < 0 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  •  

    Sposób I

    Korzystając z postaci kanonicznej wiemy wiemy, że szukana funkcja musi mieć postać

    2 f(x) = a(x− 1) + 4.

    Dodatkowa informacja jaką mamy, to najmniejsza wartość funkcji w przedziale ⟨− 2,2⟩ . Ponieważ ta wartość najmniejsza nie jest osiągana w wierzchołku paraboli, parabola ta musi mieć ramiona skierowane w dół.

    PIC

    Ponadto, ponieważ jej wierzchołek jest w punkcie x = 1 , a więc bliżej prawego końca przedziału ⟨− 2,2⟩ , wartość najmniejsza musi być osiągana w lewym końcu przedziału, czyli dla x = − 2 (rysunek). Zatem f(− 2) = − 5 , co daje

    − 5 = a(− 2 − 1)2 + 4 = 9a + 4 ⇒ 9a = − 9 ⇒ a = −1 .

    Zatem

    f(x ) = − (x− 1)2 + 4 = 4 − (x − 1)2 = (2 − (x − 1))(2 + (x − 1)) = = (3− x)(1 + x) = − (x − 3)(x + 1).

    Sposób II

    Niech 2 f (x) = ax + bx + c . Dane współrzędnych wierzchołka dają nam równania

    { −b- 2a = 1 −4Δa-= 4 { b = − 2a b2 − 4ac = − 16a.

    Tak jak w poprzednim sposobie stwierdzamy, że f(− 2) = − 5 , co daje równanie

    2 a(− 2) + b (−2 )+ c = −5 4a− 2b+ c = − 5 c = − 5+ 2b− 4a.

    Wyliczoną wartość podstawiamy do drugiego z wcześniej wyliczonych równań i mamy układ

    { b = − 2a b2 − 4a(− 5 + 2b − 4a) = − 1 6a { b = − 2a 2 2 { b + 20a − 8ab + 16a = − 16a b = − 2a b2 + 36a − 8ab + 16a 2 = 0.

    Podstawiamy b z pierwszego równania i mamy

    2 2 (− 2a) + 3 6a− 8a(− 2a)+ 16a = 0 36a2 = − 36a a = − 1.

    Stąd b = 2 i c = 3 , czyli f(x) = −x 2 + 2x + 3 . Aby przedstawić ten trójmian w postaci iloczynowej musimy wyliczyć pierwiastki. 2 Δ = 4+ 12 = 16 = 4 , co daje

    −-2-−-4 x1 = − 2 = 3 − 2 + 4 x2 = ------- = − 1. − 2

    Zatem f(x) = − (x + 1)(x − 3)  
    Odpowiedź: − (x+ 1)(x− 3)

  • Odczytujemy z wykresu, x ∈ (− ∞ ,− 1)∪ (3,∞ ) .  
    Odpowiedź: (− ∞ ,− 1)∪ (3,∞ )
Wersja PDF