Zadanie nr 3319839

Rozwiąż nierówność

1 1 2 --2----− ------≥ -----+ 4x. x − 4 2− x 2+ x

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dziedziną danej nierówności jest zbiór R ∖ {− 2,2 } . Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

--1---− --1---≥ --2---+ 4x x2 − 4 2 − x 2+ x ------1-------- --1--- --2--- (x− 2)(x+ 2) + x − 2 − x+ 2 − 4x ≥ 0 2 1+--(x+--2)−--2(x−--2)−--4x(x--−-4)- (x − 2)(x + 2 ) ≥ 0 3 −-4x-+--15x-+-7-≥ 0 / ⋅(− 1) (x − 2)(x + 2 ) 3 4x--−-15x-−-7--≤ 0. (x− 2)(x+ 2)

Musimy teraz rozłożyć licznik, więc szukamy jego pierwiastków. Najpierw sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego: 1,− 1,7,− 7 . Niestety żadna z tych liczb nie jest miejscem zerowym licznika. Więc zaczynamy sprawdzać ułamki postaci p q , gdzie jest dzielnikiem − 7 , a jest dzielnikiem 4, czyli liczby

1-,− 1, 7-,− 7, 1-,− 1, 7-,− 7. 2 2 2 2 4 4 4 4

Na szczęście już druga z tych liczb okazuje się być pierwiastkiem licznika. Dzielimy teraz wielomian w liczniku przez (2x + 1) . My jak zawsze zrobimy to grupując wyrazy.