Zadanie nr 7951686

Rozwiąż nierówność

x − 1 1 5 -2-----− ------≤ ------+ 2 . x − 9 3 − x 3 + x

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dziedziną danej nierówności jest zbiór R ∖ {− 3,3 } . Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

x-−-1--− --1---≤ --5---+ 2 x2 − 9 3 − x 3+ x ----x-−-1------ --1--- --5--- (x− 3)(x + 3) + x − 3 − x+ 3 − 2 ≤ 0 2 (x−--1)+--(x+--3)−--5(x−--3)−--2(x-−--9)- (x− 3)(x + 3) ≤ 0 2 −-2x-−--3x-+-35-≤ 0 / ⋅(− 1) (x − 3)(x + 3) 2 2x--+-3x-−-3-5-≥ 0 . (x− 3)(x + 3)

Rozkładamy jeszcze licznik

2 Δ = 9+ 280 = 2 89 = 17 − 3 − 17 − 3 + 17 7 x = ---------= −5 lub x = ---------= -. 4 4 2

Przy założeniu x ⁄= ± 3 , interesująca nas nierówność jest więc równoważna nierówności

( 7 ) (x + 5) x − -- (x − 3)(x + 3) ≥ 0 . 2

Zaznaczamy miejsca zerowe otrzymanego wielomianu na osi.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności

[ ) x ∈ (− ∞ ,− 5]∪ (− 3,3) ∪ 7-,+∞ . 2

Odpowiedź: [ ) x ∈ (− ∞ ,− 5]∪ (− 3,3 )∪ 7,+ ∞ 2