Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3583629

Oblicz prawdopodobieństwo, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 4.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy ciągi wyników, czyli

 3 |Ω | = 6 ⋅6⋅ 6 = 6 .

Policzmy teraz, ile jest zdarzeń sprzyjających.

Zauważmy najpierw, że kwadrat liczby całkowitej zawsze daje resztę 1 lub 0 przy dzieleniu przez 4. Rzeczywiście, jeżeli liczba jest parzysta to jej kwadrat dzieli się przez 4, a więc daje resztę 0. Jeżeli natomiast liczba n jest nieparzysta to n = 4k + 1 lub n = 4k+ 3 dla pewnej liczby całkowitej k . Mamy wtedy odpowiednio

 2 2 2 2 n = (4k + 1) = 16k + 8k + 1 = 4(4k + 2k)+ 1 n 2 = (4k + 3)2 = 16k 2 + 24k + 9 = 4(4k2 + 6k + 2)+ 1.

Zatem w obu przypadkach  2 n daje resztę 1 przy dzieleniu przez 4.

Teraz pora pomyśleć w jaki sposób suma kwadratów trzech liczb

 2 2 2 a + b + c

może dawać liczbę podzielną przez 4. Zauważmy, że żadna z tych liczb nie może być nieparzysta, bo w takiej sytuacji, patrząc na reszty mamy co najmniej jedną jedynkę, ale mamy tylko 3 liczby, więc suma reszt nie może dzielić się przez 4. Zatem rzeczywiście wszystkie liczby muszą być parzyste i mamy

3⋅3 ⋅3

zdarzeń sprzyjających (na kostce są 3 liczby parzyste). Prawdopodobieństwo jest równe

 3 ⋅3⋅ 3 1 1 p = ------- = ------- = -. 6 ⋅6⋅ 6 2 ⋅2 ⋅2 8

 
Odpowiedź: 1 8

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!