Zadanie nr 7008336

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 5.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 5 daje resztę 0, 1 lub 4. Rzeczywiście jeżeli n = 5k + r to

n2 = (5k + r)2 = 2 5k2 + 1 0kr+ r2,

więc liczba n 2 daje przy dzieleniu przez 5 taką samą resztę jak . Zatem dla r = 0 otrzymujemy resztę 0, dla r = 1 i r = 4 resztę 1, a dla r = 2 i r = 3 resztę 4.

W przypadku liczby oczek na kostce mogliśmy to sprawdzić nawet prościej – wystarczy podnieść do kwadratu liczby od 1 do 6 i sprawdzić jakie otrzymujemy reszty.

Zastanówmy się teraz, kiedy suma trzech kwadratów może być podzielna przez 5. Patrząc na reszty (nie uwzględniamy na razie kolejności) są dwie możliwości

0 + 0 + 0 0 + 1 + 4

(tzn. albo wszystkie trzy liczby dzielą się przez 5, albo jedna dzieli się przez 5, kwadrat drugiej daje resztę 1, a kwadrat trzeciej resztę 4).

Teraz łatwo już obliczyć żądane prawdopodobieństwo. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy ciągi otrzymanych oczek, czyli

3 |Ω | = 6 ⋅6⋅ 6 = 6 .

Jest jedno zdarzenie z trzema liczbami podzielnymi przez 5.

Obliczmy ile jest zdarzeń sprzyjających drugiego rodzaju. Liczbą podzielną przez 5 musi być 5. Liczbę, której kwadrat daje resztę 1 możemy wybrać ze zbioru { 1,4,6} . Liczbę, której kwadrat ma dawać resztę 4 możemy wybrać ze zbioru { 2,3} . Wybrane trzy liczby możemy ustawić w dowolnej kolejności, co w sumie daje