Zadanie nr 7219862

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Kluczowa jest w tym zadaniu obserwacja, że kwadrat liczby całkowitej może dawać tylko resztę 1 lub 0 przy dzieleniu przez 3. Rzeczywiście, jeżeli n = 3k to liczba n 2 dzieli się przez 3, jeżeli n = 3k+ 1 to

n2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k)+ 1,

więc liczba ta daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Podobnie, jeżeli n = 3k + 2 to

2 2 2 2 n = (3k + 2 ) = 9k + 12k + 4 = 3(3k + 4k + 1) + 1,

zatem znowu mamy liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Powyższa obserwacja oznacza, że suma kwadratów trzech liczb całkowitych dzieli się przez 3 (daje resztę 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie 3 dzielą się przez 3 (czyli dają resztę 0), lub gdy wszystkie 3 nie dzielą się przez 3. Tak jest, bo jedyne sumy trzech 0 i 1-ek, które dają liczbę podzielną przez 3 to

0 + 0 + 0 = 0 1 + 1 + 1 = 3.

Możemy teraz policzyć prawdopodobieństwo. O zdarzeniach elementarnych myślimy jak o trójkach otrzymanych oczek, czyli

3 |Ω | = 6 .

Zdarzenia sprzyjające to takie, że wszystkie trzy liczby dzielą się przez 3, czyli należą do zbioru {3,6} lub, że wszystkie 3 nie dzielą się przez 3, czyli należą do zbioru {1,2,4,5} . Jest więc