Jak zwykle zaczynamy od wyboru odpowiedniej przestrzeni zdarzeń elementarnych. Ustalmy, że
to wszystkie możliwe wyniki z uwzględnioną kolejnością, czyli np. odróżniamy
od
. W takim modelu wszystkich zdarzeń jest
.
- Pierwsza część zadania jest łatwa, zdarzenia sprzyjające
to takie, że wylosowane liczby są ze zbioru
. Mamy zatem
możliwości, skąd
Odpowiedź:
- Co do drugiego prawdopodobieństwa, to trzeba najpierw zrozumieć kiedy suma kwadratów trzech liczb dzieli się przez 3. Nie ma na to lepszego sposobu niż powypisywać sobie trochę możliwych wyników i poszukać jakiejś prawidłowości. My pominiemy ten krok i od razu podamy odpowiedź. Każda liczba przy dzieleniu przez trzy daje resztę
lub
. Liczba jest podzielna przez 3, gdy reszta jest 0. Mamy zatem trzy liczby
i zastanawiamy się kiedy
daje resztę 0 z dzielenia przez trzy. Sprawdźmy jaką resztę daje
:
jeżeli
to reszta jest 0
jeżeli
to
, czyli reszta jest 1
jeżeli
to
, czyli reszta jest 1
Widzimy zatem, że
ma zawsze resztę 0 lub 1 z dzielenia przez 3. W końcu rozumiemy kiedy
dzieli się przez trzy: albo
są wszystkie podzielne przez 3 (reszta 0+0+0) albo żadna z nich (reszta 1+1+1). Innych możliwości nie ma. Pozostało policzyć ile jest takich wyników. Układów z liczbami podzielnymi przez 3 jest
(bo do wyboru jest 3 i 6). Układów z liczbami, które nie są podzielne przez 3 jest
(do wyboru mamy 1,2,4 lub 5). Mamy zatem
Odpowiedź: