Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7521911

Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

  • A – na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek,
  • B – suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od wyboru odpowiedniej przestrzeni zdarzeń elementarnych. Ustalmy, że Ω to wszystkie możliwe wyniki z uwzględnioną kolejnością, czyli np. odróżniamy (1,2,3) od (2,1,3) . W takim modelu wszystkich zdarzeń jest 6⋅6 ⋅6 = 6 3 .

  • Pierwsza część zadania jest łatwa, zdarzenia sprzyjające A to takie, że wylosowane liczby są ze zbioru 1,3,5 . Mamy zatem  3 3⋅ 3⋅3 = 3 możliwości, skąd
     3 P (A ) = 3--= 1. 63 8

     
    Odpowiedź: P(A ) = 1 8

  • Co do drugiego prawdopodobieństwa, to trzeba najpierw zrozumieć kiedy suma kwadratów trzech liczb dzieli się przez 3. Nie ma na to lepszego sposobu niż powypisywać sobie trochę możliwych wyników i poszukać jakiejś prawidłowości. My pominiemy ten krok i od razu podamy odpowiedź. Każda liczba przy dzieleniu przez trzy daje resztę 0,1 lub 2 . Liczba jest podzielna przez 3, gdy reszta jest 0. Mamy zatem trzy liczby a,b,c i zastanawiamy się kiedy a2 + b2 + c2 daje resztę 0 z dzielenia przez trzy. Sprawdźmy jaką resztę daje a2 :
    jeżeli a = 3k to reszta jest 0
    jeżeli a = 3k + 1 to  2 2 2 a = (3k + 1) = 9k + 6k + 1 , czyli reszta jest 1
    jeżeli a = 3k + 2 to a2 = (3k+ 2)2 = 9k2 + 12k + 3 + 1 , czyli reszta jest 1
    Widzimy zatem, że  2 a ma zawsze resztę 0 lub 1 z dzielenia przez 3. W końcu rozumiemy kiedy  2 2 2 a + b + c dzieli się przez trzy: albo a,b,c są wszystkie podzielne przez 3 (reszta 0+0+0) albo żadna z nich (reszta 1+1+1). Innych możliwości nie ma.

    Pozostało policzyć ile jest takich wyników. Układów z liczbami podzielnymi przez 3 jest  3 2⋅ 2⋅2 = 2 (bo do wyboru jest 3 i 6). Układów z liczbami, które nie są podzielne przez 3 jest 43 (do wyboru mamy 1,2,4 lub 5). Mamy zatem

     23 + 43 1 + 23 1 P (B) = ---3---= ---3---= -. 6 3 3

     
    Odpowiedź: P(B ) = 1 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!