Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz... Zadania.info: rozwiązanie zadania, 3 kostki, 7521911

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Kostki/3 kostki

Zadanie nr 7521911

Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

$A$ – na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek,
$B$ – suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.

Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od wyboru odpowiedniej przestrzeni zdarzeń elementarnych. Ustalmy, że $Ω$ to wszystkie możliwe wyniki z uwzględnioną kolejnością, czyli np. odróżniamy $(1,2,3)$ od $(2,1,3)$ . W takim modelu wszystkich zdarzeń jest $6⋅6 ⋅6 = 6 3$ .

Pierwsza część zadania jest łatwa, zdarzenia sprzyjające $A$ to takie, że wylosowane liczby są ze zbioru $1,3,5$ . Mamy zatem $3 3⋅ 3⋅3 = 3$ możliwości, skąd $3 P (A ) = 3--= 1. 63 8$

Odpowiedź: $P(A ) = 1 8$
Co do drugiego prawdopodobieństwa, to trzeba najpierw zrozumieć kiedy suma kwadratów trzech liczb dzieli się przez 3. Nie ma na to lepszego sposobu niż powypisywać sobie trochę możliwych wyników i poszukać jakiejś prawidłowości. My pominiemy ten krok i od razu podamy odpowiedź. Każda liczba przy dzieleniu przez trzy daje resztę $0,1$ lub $2$ . Liczba jest podzielna przez 3, gdy reszta jest 0. Mamy zatem trzy liczby $a,b,c$ i zastanawiamy się kiedy $a2 + b2 + c2$ daje resztę 0 z dzielenia przez trzy. Sprawdźmy jaką resztę daje $a2$ :
jeżeli $a = 3k$ to reszta jest 0
jeżeli $a = 3k + 1$ to $2 2 2 a = (3k + 1) = 9k + 6k + 1$ , czyli reszta jest 1
jeżeli $a = 3k + 2$ to $a2 = (3k+ 2)2 = 9k2 + 12k + 3 + 1$ , czyli reszta jest 1
Widzimy zatem, że $2 a$ ma zawsze resztę 0 lub 1 z dzielenia przez 3. W końcu rozumiemy kiedy $2 2 2 a + b + c$ dzieli się przez trzy: albo $a,b,c$ są wszystkie podzielne przez 3 (reszta 0+0+0) albo żadna z nich (reszta 1+1+1). Innych możliwości nie ma.
Pozostało policzyć ile jest takich wyników. Układów z liczbami podzielnymi przez 3 jest $3 2⋅ 2⋅2 = 2$ (bo do wyboru jest 3 i 6). Układów z liczbami, które nie są podzielne przez 3 jest $43$ (do wyboru mamy 1,2,4 lub 5). Mamy zatem
$23 + 43 1 + 23 1 P (B) = ---3---= ---3---= -. 6 3 3$

Odpowiedź: $P(B ) = 1 3$