Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8493303

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 4.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Kluczowa jest w tym zadaniu obserwacja, że kwadrat liczby całkowitej n może dawać tylko resztę 1 lub 0 przy dzieleniu przez 4. Rzeczywiście, jeżeli n jest liczbą parzystą, tzn. n = 2k to liczba n 2 dzieli się przez 4, jeżeli natomiast n jest nieparzyste, tzn. n = 2k + 1 to

n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k2 + k)+ 1,

więc liczba ta daje resztę 1 z dzielenia przez 4.

Powyższa obserwacja oznacza, że suma kwadratów trzech liczb całkowitych dzieli się przez 4 (daje resztę 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie 3 są parzyste (bo żadna z liczb 0 + 0 + 1,0 + 1 + 1,1 + 1 + 1 nie dzieli się przez 4).

Możemy teraz obliczyć prawdopodobieństwo. O zdarzeniach elementarnych myślimy jak o trójkach otrzymanych oczek, czyli

 3 |Ω | = 6 .

Zdarzenia sprzyjające to takie, że wszystkie trzy liczby są parzyste, czyli należą do zbioru {2,4,6} . Jest więc

3 ⋅3⋅ 3 = 33

zdarzeń sprzyjających.

Prawdopodobieństwo wynosi

3 3 1 1 ---= ---= -. 6 3 23 8

 
Odpowiedź: 1 8

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!