Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2781720

Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma kwadratów liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie mniejsza niż 20.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy czteroelementowe ciągi otrzymanych liczb oczek. Mamy więc

|Ω | = 6⋅6 ⋅6 ⋅6 = 64.

Zastanówmy się teraz, na ile sposobów suma kwadratów oczek może być mniejsza od 20.

 I : 42 + 12 + 12 + 12 2 2 2 2 II : 3 + 2 + 2 + 1 III : 32 + 22 + 12 + 12 IV : 32 + 12 + 12 + 12 2 2 2 2 V : 2 + 2 + 2 + 2 VI : 22 + 22 + 22 + 12 2 2 2 2 VII : 2 + 2 + 1 + 1 VIII : 22 + 12 + 12 + 12 IX : 12 + 12 + 12 + 12.

Powyższe możliwości dzielą się na kilka typów. W przypadku rozkładów V i IX mamy po jednym zdarzeniu sprzyjającym

W przypadkach I, IV, VI, VIII mamy po 4 możliwości (bo na 4 sposoby możemy umieścić liczbę inną od pozostałych trzech).

W przypadku VII miejsca dla 2-jek możemy wybrać na

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów, a na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki.

Pozostały przypadki II i III. Są one analogiczne, więc przeprowadzimy rachunek dla przypadku II. Miejsce dla 3-ki wybieramy na 4 sposoby, potem na 3 sposoby umieszczamy 1-kę, a na koniec na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy 2-ki. W przypadkach II i III jest więc 3⋅4 = 12 możliwości. W sumie jest więc

1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 4 + 6 + 12 + 12 = 48.

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe

 48 8 1 1 p = ---= ---= ---= ---. 64 63 33 2 7

 
Odpowiedź:  1 27

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!