Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9308279

Oblicz prawdopodobieństwo, że w czterech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 5.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy ciągi wyników, czyli

 4 |Ω | = 6⋅6 ⋅6 ⋅6 = 6 .

Obliczmy teraz, ile jest zdarzeń sprzyjających.

Zauważmy najpierw, że kwadrat liczby całkowitej zawsze daje resztę 0, 1 lub 4 przy dzieleniu przez 5. Rzeczywiście, jeżeli n = 5k + r , gdzie r ∈ {0 ,1 ,2,3,4} , to

 2 2 2 2 2 2 n = (5k + r) = 25k + 1 0kr+ r = 5(5k + 2kr)+ r .

Podstawiając teraz za r kolejno 0, 1, 2, 3, 4 otrzymujemy

n2 = 5 ⋅5k2 n2 = 5(5k2 + 2k) + 1 2 2 n = 5(5k + 4k) + 4 n2 = 5(5k2 + 6k) + 9 = 5 (5k2 + 6k+ 1)+ 4 n2 = 5(5k2 + 8k) + 16 = 5(5k2 + 8k+ 3)+ 1.

Zastanówmy się teraz w jaki sposób suma kwadratów czterech liczb

a2 + b2 + c2 + d2

może dawać liczbę podzielną przez 5 – myślimy o resztach jakie dają liczby a,b,c,d przy dzieleniu przez 5. Zauważmy, że każdej jedynce w tym wyrażeniu musi odpowiadać czwórka i odwrotnie, każdej czwórce musi odpowiadać jedynka. Oprócz tego może być oczywiście dowolna liczba zer. W takim razie jedyne możliwe układy reszt to

0 + 0 + 0 + 0 1 + 4 + 0 + 0 1 + 4 + 1 + 4.

Pierwszemu układowi reszt odpowiada jedno zdarzenie sprzyjające: (5,5,5 ,5) . W drugim układzie reszt musimy wybrać miejsce dla dwóch piątek – możemy to zrobić na

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów. Potem na trzy sposoby wybieramy liczbę, której kwadrat da resztę 1 (może to być: 1, 4, 6), potem na dwa sposoby wybieramy liczbę, która da resztę 4 (może to być 2 lub 3) i umieszczamy te dwie wybrane liczby na 2! = 2 sposoby na pozostałych dwóch miejscach. W sumie w tym przypadku są więc

6⋅3 ⋅2 ⋅2 = 72

zdarzenia sprzyjające.

W ostatnim układzie reszt musimy wybrać dwa miejsca dla reszt równych 1 – możemy to zrobić na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów. Potem na tych miejscach umieszczamy na

3⋅ 3 = 9

sposobów liczby spośród: 1, 4, 6 (czyli takie, których kwadrat daje resztę 1). Na koniec na pozostałych dwóch miejscach na

2⋅ 2 = 4

sposoby umieszczamy liczby spośród 2 i 3 (czyli takie, których kwadrat daje resztę 4). W sumie w tym przypadku jest więc

6 ⋅9 ⋅4 = 216

zdarzeń sprzyjających. Prawdopodobieństwo jest więc równe

 1+--72+--216- 28-9- p = 64 = 1296.

 
Odpowiedź: -289 1296

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!