Zadanie nr 1313312

Funkcje i są określone wzorami: 4x8+9x4+1 f (x) = x4+ 2 i 4x8+8x4−1 g(x ) = x4+ 2 dla każdej liczby rzeczywistej . Wykaż, że f ′(x ) = g′(x) .

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy wykazać, że

′ ′ ′ ′ ′ f (x) = g (x) ⇐ ⇒ f (x )− g (x) = 0 ⇐ ⇒ (f(x )− g (x)) = 0.

Wystarczy zatem pokazać, że f(x )− g (x) jest funkcją stałą. Sprawdzamy

4x8 + 9x 4 + 1 4x8 + 8x4 − 1 x4 + 2 f(x) − g(x ) = -----4--------− -----4--------= -4-----= 1 . x + 2 x + 2 x + 2

Sposób II

Przekształćmy wzory obu funkcji tak, aby pozbyć się 8 x i 4 x z liczników.

4x 8 + 9x 4 + 1 4x 4(x4 + 2)+ (x4 + 2)− 1 1 f (x) = --------------= ---------------------------= 4x4 + 1 − ------- x4 + 2 x 4 + 2 x 4 + 2 4x 8 + 8x 4 − 1 4x 4(x4 + 2)− 1 4 1 g (x) = -----4--------= ------4--------- = 4x − --4----. x + 2 x + 2 x + 2

Widać teraz, że f(x) = g(x) + 1 , więc

f′(x) = (g(x )+ 1 )′ = g ′(x ).

Sposób III

Liczymy pochodną funkcji .

7 3 4 8 4 3 f′(x) = (3-2x-+--36x-)(x--+-2)-−-(4x--+-9x--+-1)-⋅4x-- (x 4 + 2 )2 3 2x11 + 64x7 + 36x7 + 72x 3 − 1 6x11 − 36x7 − 4x3 16x11 + 64x 7 + 68x 3 = ------------------------------------------------- = --------------------. (x 4 + 2)2 (x 4 + 2)2

Teraz obliczamy pochodną funkcji .

(32x 7 + 32x3)(x4 + 2) − (4x8 + 8x 4 − 1) ⋅4x3 g′(x) = ----------------------------------------------= (x 4 + 2)2 32x 11 + 6 4x7 + 32x7 + 64x 3 − 1 6x11 − 32x7 + 4x3 16x11 + 64x 7 + 68x 3 = ----------------------4-----2-------------------- = --------4----2------. (x + 2) (x + 2)

Widać teraz, że rzeczywiście f′(x) = g′(x) .