/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji

Zadanie nr 1666541

Korzystając ze wzoru ′ (sin x) = cosx oblicz pochodną funkcji f(x ) = arcsin x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Różniczkujemy stronami równość

sin(a rcsin x) = x

korzystając z podanego wzoru na pochodną sinusa i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

′ sin (arcsin x) = x /() cos(arcsinx )⋅(arcsinx )′ = 1 (arcsin x)′ = ------1------. cos(arcsinx )

Aby uprościć prawą stronę zauważmy, że jeżeli y = arcsinx to sin y = x oraz y ∈ [− π-, π] 2 2 . To oznacza, że cos y ≥ 0 i

∘ ---------- 2 ∘ -----2- cos y = 1 − sin y = 1 − x .

Zatem

1 1 1 (arcsin x)′ = ------------- = ----- = √-------. cos(arcsinx ) co sy 1− x2

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

(f− 1(y ))′ = --1---, gdzie y = f(x ) 0 f′(x0) 0 0

na pochodną funkcji odwrotnej.

Jeżeli oznaczmy g(x) = sin x to x = g −1(y ) = a rcsin y 0 0 0 i na mocy powyższego wzoru mamy

1 1 (arcsiny 0)′ = (g −1(y0)) = -′----= ------. g(x 0) cos x0

Tak jak w pierwszym sposobie zauważamy, że

∘ ----------- ∘ ------- cos x0 = 1 − sin2 x0 = 1 − y20.

Zatem

(arcsiny )′ = ∘--1----. 0 2 1 − y0

Zamieniając literkę z y 0 na x otrzymujemy (a rcsin x)′ = √-11−x-2 .  
Odpowiedź: ′ √-1--- f (x) = 1−x2

Wersja PDF