Zadanie nr 4632749

Wyznacz wszystkie argumenty , w których funkcja 6 5 4 3 f (x) = 15x + 3x − 9 0x − 20x ma ekstrema lokalne.

Rozwiązanie

Liczymy pochodną

′ 5 4 3 2 2 3 2 f (x ) = 15⋅ 6x + 15x − 90 ⋅4x − 60x = 15x (6x + x − 2 4x− 4) = = 15x2(x 2(6x + 1)− 4(6x + 1)) = 15x 2(x2 − 4)(6x + 1) = ( ) = 90x2(x − 2)(x + 2 ) x+ 1- . 6

Miejsca zerowe pochodnej to: { } 1 0,− 2,− 6,2 , przy czym w x = 0 pochodna nie zmienia znaku, w − 1 6 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, a w x = − 2 i x = 2 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni.

To oznacza, że w x = 0 nie ma ekstremum, w x = − 16 jest maksimum lokalne, a w x = − 2 i x = 2 są minima lokalne.

Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji y = f(x ) . Lewy rysunek przedstawia wykres ’z daleka’, a prawy rysunek pokazuje w powiększeniu, co się dzieje w okolicach x = 0 .