Zadanie nr 5678380

Oblicz pole trójkąta utworzonego przez prostą x− y+ 6 = 0 , oś oraz styczną do wykresu funkcji f(x) = (x + 3)(x + 1 )(x− 2) w punkcie o pierwszej współrzędnej x = − 2 .

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw drugą współrzędną punktu, w którym mamy poprowadzić styczną do wykresu.

f(− 2) = 1 ⋅(− 1)⋅(− 4) = 4.

Aby obliczyć pochodną funkcji przekształcamy jej wzór.

f(x ) = (x + 3)(x + 1)(x − 2) = (x2 + 4x+ 3)(x − 2) = x3 + 2x 2 − 5x − 6

Liczymy pochodną

′ 2 f (x) = 3x + 4x − 5 f ′(− 2) = 12− 8− 5 = − 1.

Styczna do wykresu funkcji w punkcie A = (x 0,y0) = (− 2,4) ma więc równanie

y = f ′(x0)(x − x 0)+ y 0 y = − (x + 2) + 4 = −x + 2 .

Szkicujemy teraz opisaną sytuację.

W wykresu powinno być jasne, że mamy do czynienia z trójkątem ABC o wierzchołkach A = (−2 ,4) , B = (−6 ,0) i C = (2 ,0 ) . Wysokość tego trójkąta ma długość 4, a podstawa BC = 6 + 2 = 8 . Jego pole jest więc równe