Zadanie nr 7216684
Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
i
. Wyznacz równania dwóch prostopadłych stycznych do wykresu funkcji
poprowadzonych w punktach, których pierwsze współrzędne różnią się o 2, jeżeli wiadomo, że funkcja
ma maksimum lokalne równe
.
Rozwiązanie
Liczymy pochodną danej funkcji
![′ f (x) = 2kx + 2(1 − k).](https://img.zadania.info/zad/7216684/HzadR0x.gif)
Funkcja kwadratowa ma jedno ekstremum – w wierzchołku paraboli będącej jej wykresem. Pierwsza współrzędna wierzchołka to miejsce zerowe pochodnej, czyli
![k-−-1- 0 = 2kxw + 2(1 − k) ⇒ xw = k .](https://img.zadania.info/zad/7216684/HzadR2x.gif)
Spróbujmy teraz wykorzystać podaną informację o największej wartości funkcji do obliczenia .
![7 ( k − 1 )2 k − 1 --= yw = f(xw ) = k⋅ ------ + (2 − 2k) ⋅------− 1 2 k k 9- (k-−-1)2-−-2(k-−-1)2 (k−-1-)2 2 = k = − k 2 9k = − 2(k − 2k + 1) 2k2 + 5k+ 2 = 0 Δ = 25− 16 = 9 − 5 − 3 − 5 + 3 1 k = ------- = − 2 lub k = ------- = − -. 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/7216684/HzadR4x.gif)
Ponieważ z założenia mamy stąd
i
![1 f(x ) = − -x2 + 3x − 1 ′ 2 f (x ) = −x + 3.](https://img.zadania.info/zad/7216684/HzadR7x.gif)
Jeżeli styczne są prostopadłe w w punktach o współrzędnych i
, to musi być spełniony warunek
![− 1 = f′(m )f′(m + 2 ) = (−m + 3)(− (m + 2)+ 3) 2 − 1 = (−m + 3)(−m + 1 ) = m − 4m + 3 0 = m 2 − 4m + 4 = (m − 2 )2 ⇒ m = 2.](https://img.zadania.info/zad/7216684/HzadR10x.gif)
To oznacza, że interesujące nas prostopadłe styczne są w punktach i
. Równania tych stycznych mają więc postać
![y = f′(2)(x − 2) + f(2) = (x − 2)+ 3 = x+ 1 y = f′(4)(x − 4) + f(4) = −(x − 4 )+ 3 = −x + 7.](https://img.zadania.info/zad/7216684/HzadR13x.gif)
Na koniec ilustracja całej sytuacji.
Odpowiedź: i