/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Zbiory liczb/Z funkcjami

Zadanie nr 6846142

Wzór funkcji -a-- f(x) = x−b + c tworzymy w następujący sposób. Ze zbioru

Z = { − 3,− 2,− 1,1,2,3}

losujemy kolejno 3 liczby (bez zwracania); pierwsza z wylosowanych liczb jest równa współczynnikowi a , druga – współczynnikowi b , trzecia – współczynnikowi c . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

  • A – funkcja f jest funkcją malejącą w każdym ze zbiorów (− ∞ ,2) oraz (2,+ ∞ ) ;
  • B – miejscem zerowym funkcji f jest 0.
  • C – funkcja f jest funkcją malejącą w każdym ze zbiorów (− ∞ ,− 2) oraz (2 ,+∞ ) ;
Wersja PDF

Rozwiązanie

Na początku ustalmy, że zdarzenia elementarne to trójki wylosowanych liczb. Mamy zatem

|Ω | = 6⋅5 ⋅4.
  • Funkcja f (x) = xa−b-+ c jest przesuniętą hiperbolą y = ax o wektor [b ,c] .
    PIC

    Jest ona zatem malejąca na podanych przedziałach wtedy i tylko wtedy gdy a > 0 i b = 2 (nie może być rozerwana w żadnym z tych przedziałów, bo wtedy nie będzie malejąca).

    Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające takiej sytuacji. Liczbę a możemy wybrać na 2 sposoby (1 lub 3). Dla liczby b nie mamy żadnego wyboru (musimy wziąć b = 2 ), a liczbę c możemy potem wybrać na 4 sposoby. Zdarzeń sprzyjających jest zatem

    2 ⋅1⋅4 .

    Zatem

    2 ⋅1 ⋅4 1 P(A ) = ------- = --. 6 ⋅5 ⋅4 15

     
    Odpowiedź: 115

  • Liczba 0 jest miejscem zerowym f jeżeli
    0 = -a-+ c ⇒ a = bc. −b

    Policzmy ile jest zdarzeń sprzyjających. Jeżeli a = ± 3 lub a = ± 2 , to dla b mamy 2 możliwości (np. dla a = 3 , b może być równe -3,-1; nie może być równe 1, bo wtedy nie da się dobrać c ), a liczba c jest jednoznacznie wyznaczona przez a i b . Jeżeli a = ± 1 , to dla b mamy tylko jedną możliwość, a c nie da się już wybrać, zatem ten przypadek nie zachodzi. Mamy zatem

    4 ⋅2 1 P(B ) = ------- = ---. 6 ⋅5⋅ 4 15

     
    Odpowiedź: 1- 15

  • Funkcja będzie malejąca na podanych przedziałach wtedy i tylko wtedy gdy a > 0 i − 2 ≤ b ≤ 2 (nie może być rozerwana w żadnym z tych przedziałów, bo wtedy nie będzie malejąca).

    Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające takiej sytuacji. Liczbę a możemy wybrać na 3 sposoby. Liczbę b możemy potem wybrać na 4 sposoby (jeżeli a = 3 ) lub na 3 sposoby (jeżeli a = 1 lub a = 2 ). W każdym z przypadków mamy 4 możliwości dla liczby c . Zdarzeń sprzyjających jest zatem

    1 ⋅4⋅ 4+ 2⋅3 ⋅4 = 1 0⋅4.

    Zatem

    10⋅4 1 P (A) = -------= -. 6⋅ 5⋅4 3

     
    Odpowiedź: 1 3

Wersja PDF