Zadanie nr 6846142

Wzór funkcji -a-- f(x) = x−b + c tworzymy w następujący sposób. Ze zbioru

Z = { − 3,− 2,− 1,1,2,3}

losujemy kolejno 3 liczby (bez zwracania); pierwsza z wylosowanych liczb jest równa współczynnikowi , druga – współczynnikowi , trzecia – współczynnikowi . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

– funkcja jest funkcją malejącą w każdym ze zbiorów oraz ;
– miejscem zerowym funkcji jest 0.
– funkcja jest funkcją malejącą w każdym ze zbiorów oraz ;

Rozwiązanie

Na początku ustalmy, że zdarzenia elementarne to trójki wylosowanych liczb. Mamy zatem

|Ω | = 6⋅5 ⋅4.

Funkcja jest przesuniętą hiperbolą o wektor .

Jest ona zatem malejąca na podanych przedziałach wtedy i tylko wtedy gdy i (nie może być rozerwana w żadnym z tych przedziałów, bo wtedy nie będzie malejąca).
Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające takiej sytuacji. Liczbę możemy wybrać na 2 sposoby (1 lub 3). Dla liczby nie mamy żadnego wyboru (musimy wziąć ), a liczbę możemy potem wybrać na 4 sposoby. Zdarzeń sprzyjających jest zatem

$2 ⋅1⋅4 .$

Zatem

$2 ⋅1 ⋅4 1 P(A ) = ------- = --. 6 ⋅5 ⋅4 15$

Odpowiedź:
Liczba 0 jest miejscem zerowym jeżeli
$0 = -a-+ c ⇒ a = bc. −b$

Policzmy ile jest zdarzeń sprzyjających. Jeżeli lub , to dla mamy 2 możliwości (np. dla , może być równe -3,-1; nie może być równe 1, bo wtedy nie da się dobrać ), a liczba jest jednoznacznie wyznaczona przez i . Jeżeli , to dla mamy tylko jedną możliwość, a nie da się już wybrać, zatem ten przypadek nie zachodzi. Mamy zatem

$4 ⋅2 1 P(B ) = ------- = ---. 6 ⋅5⋅ 4 15$

Odpowiedź:
Funkcja będzie malejąca na podanych przedziałach wtedy i tylko wtedy gdy i (nie może być rozerwana w żadnym z tych przedziałów, bo wtedy nie będzie malejąca).
Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające takiej sytuacji. Liczbę możemy wybrać na 3 sposoby. Liczbę możemy potem wybrać na 4 sposoby (jeżeli ) lub na 3 sposoby (jeżeli lub ). W każdym z przypadków mamy 4 możliwości dla liczby . Zdarzeń sprzyjających jest zatem

$1 ⋅4⋅ 4+ 2⋅3 ⋅4 = 1 0⋅4.$

Zatem

$10⋅4 1 P (A) = -------= -. 6⋅ 5⋅4 3$

Odpowiedź: