/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Zbiory liczb/Z funkcjami

Zadanie nr 6965729

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ze zbioru R = {− 2,− 1,1,2,3} losujemy najpierw jedną liczbę i oznaczamy ją jako a . Następnie z pozostałych liczb losujemy drugą liczbę i oznaczamy ją jako b . Liczby a i b są współczynnikami funkcji kwadratowej f(x ) = ax2 + b . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:

  • A – funkcja f jest malejąca w zbiorze ⟨0,+ ∞ ) ,
  • B – funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Możliwości wybrania liczb a i b jest

|Ω | = 5 ⋅4 = 20 .

Wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie (0,b) .

  • Jeżeli funkcja f ma być malejąca w przedziale ⟨0 ,+ ∞ ) , to ramiona paraboli będącej jej wykresem muszą być skierowane w dół, czyli musi być a < 0 . Takich par jest
    2 ⋅4 = 8

    (liczbę a możemy wybrać na 2 sposoby i potem wybieramy liczbę b z pozostałych liczb). Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

    -8-= 2- 20 5

     
    Odpowiedź: 2 5

  • Jeżeli wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę (czyli a > 0 ), to jej wierzchołek musi być poniżej osi Ox , czyli musi być b < 0 . Takich par jest
    3 ⋅2 = 6.

    Jeżeli natomiast ramiona paraboli są skierowane w dół (czyli a < 0 ), to jej wierzchołek musi być powyżej osi Ox (czyli b > 0 ). Takich par jest

    2 ⋅3 = 6.

    Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

    6 + 6 3 ------= -. 20 5

     
    Odpowiedź: 3 5

Wersja PDF