Zadanie nr 7669572

Niech X = {1,2,3,4,5 } i Y = { 1,2,3,4,5,6,7} . Oblicz prawdopodobieństwo, że zbiór wartości losowo utworzonej funkcji f : X → Y jest dwuelementowy.

Rozwiązanie

Aby zdeﬁniować funkcję f : X → Y musimy określić 5 wartości funkcji f (1),f(2),f(3),f (4),f(5) . Każdą z tych liczb możemy wybrać na 7 sposobów, więc

|Ω | = 7 ⋅7 ⋅7⋅ 7⋅7 = 75.

Policzmy teraz ile jest funkcji, których zbiór wartości składa się dokładnie z dwóch elementów.

Sposób I

Dwa elementy ze zbioru możemy wybrać na

( ) 7 7-⋅6 2 = 2 = 2 1

sposobów. To jednak jeszcze nie koniec, bo musimy ustalić, którym argumentom przyporządkujemy które wartości. Powiedzmy, że ze zbioru wybraliśmy wartości {a ,b} . Aby zdeﬁniować funkcję o wartościach i wystarczy ustalić, na których argumentach ma przyjąć wartość (wtedy na pozostałych musi być wartość ). Możliwości wyboru mamy tyle, ile jest podzbiorów zbioru , które nie są puste i nie są całym zbiorem, czyli

( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 5 ⋅4 5 ⋅4 + + + = 5 + ---- + ---- + 5 = 5+ 10+ 10+ 5 = 30. 1 2 3 4 2 2

Zatem jest 30 funkcji o ustalonych wartościach a,b , czyli w sumie jest

21 ⋅30

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo wynosi

21 ⋅30 3 ⋅30 90 ---5---= ---4--= ----. 7 7 2401

Sposób II

Tak jak poprzednio ustalamy, że jest

( ) 7 = 7-⋅6 = 2 1 2 2

możliwości wyboru dwóch liczb {a ,b} ze zbioru .

Jeżeli i mamy ustalone, to każda z wartości f (1),f(2),f(3 ),f (4),f(5) może być jedną z tych liczb, więc jest

25 = 3 2

funkcji, których wartości zawierają się w zbiorze {a ,b} . Jednak nie wszystkie z nich spełniają warunki zadania: trzeba odjąć dwie funkcje stałe, które przyjmują wyłącznie wartość lub wartość . Zatem w sumie jest 30 „dobrych” funkcji, co daje