/Konkursy/Zadania/Równania/Różne

Zadanie nr 7186929

Udowodnij, że jeżeli 1 1 1 ---1-- a + b + c = a+b +c to 3 3 3 3 3 3 (a + b )(b + c )(c + a ) = 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształćmy podaną równość

1 1 1 1 --+ --+ --= --------- a b c a + b + c bc+--ac+--ab- ----1---- abc = a + b + c (bc + ac + ab)(a + b + c) = abc abc + a 2c+ a2b + b2c + abc + ab2 + bc2 + ac2 + abc = abc 2 2 2 2 2 2 abc + a c+ a b + b c + abc + ab + bc + ac = 0 (abc + a 2c)+ (a2b + ab2) + (b2c + abc) + (bc2 + ac2) = 0 ac (b+ a )+ ab (a+ b )+ bc(b + a) + c2(b + a) = 0 2 (a + b)(ac + ab + bc + c ) = 0 (a + b)(a (c+ b) + c(b + c)) = 0 (a + b)(a + c)(b + c) = 0 .

Z powyższej równości wynika, że a = −b lub a = −c lub b = −c . W każdej z tych sytuacji dostajemy żądaną równość.

Sposób II

Zadanie jest łatwe jeżeli skorzystamy ze wzorów Viète’a dla równania stopnia 3:

x3 − αx2 + βx − γ = 0

Jeżeli liczby a ,b,c są pierwiastkami tego równania to

α = a + b + c β = ab + bc + ca γ = abc .

Jak poprzednio dochodzimy do równości

(bc + ac + ab)(a + b + c) = abc

Czyli w naszych nowych znaczkach βα = γ i nasze równanie przybiera postać:

0 = x3 − αx2 + βx − γ = x3 − αx2 + βx − βα = = x 2(x− α)+ β(x − α) = (x 2 + β )(x − α).

Gołym okiem widać pierwiastek x = α . Z drugiej strony, wszystkie pierwiastki to a,b i c , więc α musi być równe jednej z tych liczb. To natychmiast daje a = −b lub a = −c lub b = −c .

Wersja PDF