/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Szuflady, pudełka

Zadanie nr 2464870

Rozmieszczamy m różnych listów w m rozróżnialnych, ponumerowanych skrytkach. Jakie jest prawdopodobieństwo takiego rozmieszczenia, że:

  • A – co najmniej jedna skrytka jest pusta?
  • B – co najmniej dwie skrytki są puste?
Wersja PDF

Rozwiązanie

Każdemu listowi przyporządkowujemy numer skrzynki, czyli

m |Ω | = m .
  • Łatwiej jest policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli takiego, że wszystkie skrzynki są zajęte. Skoro listów jest tyle samo co skrzynek, są to po prostu permutacje listów i mamy
    m ! P(A ) = 1 − P (A′) = 1 − --m-. m

     
    Odpowiedź: P(A ) = 1 − mm!m-

  • Tak jak poprzednio, liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Wiemy już, że jest m ! sytuacji, gdy wszystkie skrzynki są zajęte. Musimy jeszcze policzyć sytuacje, gdy dokładnie jedna jest wolna. Wolną skrytkę możemy wybrać na m sposobów. Do tego na m − 1 sposobów możemy wybrać skrzynkę, w której będą dwa listy. Które dwa? – to możemy wybrać na
    ( ) m = m-(m-−-1-) 2 2

    sposobów. Pozostałe m − 2 listów umieszczamy w m − 2 pozostałych skrzynkach permutując ich kolejność. Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc

    ′ m !+ m (m − 1)⋅ m(m2−-1)-⋅(m − 2)! P(B ) = 1 − P(B ) = 1− -----------------m----------------= 2m = 1 − 2m-!+--m-(m-−-1)m-! = 1 − m-!(m--−-m--+-2). 2mm 2mm

     
    Odpowiedź: 2 P(B ) = 1 − m-!(m2−mmm-+2)

Wersja PDF