Zadanie nr 2464870

Rozmieszczamy różnych listów w rozróżnialnych, ponumerowanych skrytkach. Jakie jest prawdopodobieństwo takiego rozmieszczenia, że:

Rozwiązanie

Każdemu listowi przyporządkowujemy numer skrzynki, czyli

m |Ω | = m .

Łatwiej jest policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli takiego, że wszystkie skrzynki są zajęte. Skoro listów jest tyle samo co skrzynek, są to po prostu permutacje listów i mamy
$m ! P(A ) = 1 − P (A′) = 1 − --m-. m$

Odpowiedź:
Tak jak poprzednio, liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Wiemy już, że jest sytuacji, gdy wszystkie skrzynki są zajęte. Musimy jeszcze policzyć sytuacje, gdy dokładnie jedna jest wolna. Wolną skrytkę możemy wybrać na sposobów. Do tego na sposobów możemy wybrać skrzynkę, w której będą dwa listy. Które dwa? – to możemy wybrać na
$( ) m = m-(m-−-1-) 2 2$

sposobów. Pozostałe listów umieszczamy w pozostałych skrzynkach permutując ich kolejność. Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc

$′ m !+ m (m − 1)⋅ m(m2−-1)-⋅(m − 2)! P(B ) = 1 − P(B ) = 1− -----------------m----------------= 2m = 1 − 2m-!+--m-(m-−-1)m-! = 1 − m-!(m--−-m--+-2). 2mm 2mm$

Odpowiedź: