Zadanie nr 3135339

Do 12 ponumerowanych szuﬂad wkładamy losowo 13 pojedynczych skarpetek, przy czym dokładnie dwie z nich tworzą parę. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania konﬁguracji, w której żadna szuﬂada nie jest pusta oraz skarpetki tworzące parę znajdują się w różnych szuﬂadach.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Każdą skarpetkę możemy włożyć do jednej z 12 szuﬂad, więc jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy ciągi numerów szuﬂad, do których traﬁły kolejne skarpetki to

|Ω | = 12 ⋅12 ⋅12 ⋅⋅⋅12 = 1213.

Zauważmy, że przy takim podejściu odróżniamy od siebie dwie skarpetki tworzące parę. Równie dobrze moglibyśmy uznać je za nieodróżnialne, ale nie uprościłoby to rachunków.

Zdarzenia sprzyjające policzymy na dwa sposoby, ale zanim to zrobimy zauważmy, że ponieważ skarpetek jest 13, a szuﬂad 12, oraz w każdej szuﬂadzie ma być co najmniej jedna skarpetka, więc dokładnie w jednej z szuﬂad muszą być dwie skarpetki, a we wszystkich pozostałych po jednej skarpetce.

Sposób I

W pierwszym podejściu nie przejmujmy się skarpetkami tworzącymi parę i liczymy ile jest możliwości takich rozmieszczeń skarpetek, że żadna szuﬂada nie jest pusta. Liczymy następująco: wybieramy najpierw dwie skarpetki, które znajdą się w jednej szuﬂadzie – możemy to zrobić na (13) 2 sposobów, potem wybieramy szuﬂadę, w której się znajdą – możemy to zrobić na 12 sposobów, a na koniec dowolnie umieszczamy pozostałe 11 skarpetek w pozostałych 11 szuﬂadach, w sumie jest więc

(1 3) 13 ⋅12 ⋅12 ⋅11! = -------⋅12 ! = 7 8⋅12 ! 2 2

takich układów.

Teraz pozostało odjąć sytuacje, gdy dwie skarpetki z jednej pary traﬁły do tej samej szuﬂady. Liczymy: szuﬂadę do której traﬁły możemy wybrać na 12 sposobów, a pozostałe 11 skarpetek rozmieszczamy dowolnie, czyli jest

1 2⋅11 ! = 1 2!

takich układów.

W takim razie jest

78⋅ 12!− 12 ! = 7 7⋅12 !

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo wynosi

p = 77⋅1-2!= 77-⋅11! 1213 1 212

Sposób II

Tym razem policzmy od razu liczbę poprawnych układów. Mamy dwie możliwe sytuacje: albo w szuﬂadzie, w której są dwie skarpetki nie ma żadnej skarpetki z pary, albo jedna z tych skarpetek jest skarpetką z pary.

W pierwszej sytuacji liczymy następująco: dwie skarpetki do podwójnej szuﬂady wybieramy spośród 11 pojedynczych skarpet, czyli na

( ) 11 = 11⋅-10-= 55 2 2

sposobów, potem ustalamy, która szuﬂada jest podwójna – na 12 sposobów, a na koniec dowolnie permutujemy pozostałych 11 skarpetek w pozostałych 11 szuﬂadach. Razem jest więc

55⋅1 2⋅11 ! = 5 5⋅1 2!

takich konﬁguracji.

W drugiej sytuacji, gdy jedna ze skarpetek jest w podwójnej szuﬂadzie, liczymy następująco: skarpetkę z pary, która ma się znaleźć w podwójnej szuﬂadzie możemy wybrać na dwa sposoby, potem dobieramy do niej jedną pojedynczą skarpetkę – możemy to zrobić na 11 sposobów, potem ustalamy, która szuﬂada ma być podwójna – możemy to zrobić na 12 sposobów, a na koniec, pozostałe 11 skarpetek permutujemy dowolnie w pozostałych 11 szuﬂadach. Łącznie jest więc